Линейная аппроксимация c. Аппроксимация параболической функции. Вывод формул для нахождения коэффициентов

Аппроксимация , или приближение – научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми. В задачах, рассматриваемых в данном разделе и в следующем, используются исходные данные, полученные в результате табуляции заданной функции. Следует помнить, что в реальных задачах исходными данными являются результаты наблюдений (проведение опытов, научных экспериментов, наблюдение реальных событий и т.п.), которые подвержены ошибкам измерения и другим случайным факторам. Задача исследователя – подобрать по исходным точкам (которые на первый взгляд расположены хаотично) функциональную зависимость (если это вообще возможно), которая наилучшим образом описывает распределение исходных данных и в некоторых случаях попытаться сделать прогноз дальнейшего развития (например исследование временно́го ряда изменения котировок акций).

Задание . Построить таблицу значений функции F(x)=ax²+bx+c для 11 значений аргумента x в диапазоне –1 ≤ x ≤ +1 . Построить график этой функции, затем выполнить аппроксимацию линиями тренда двух типов. С помощью линий тренда построить прогноз на два периода вперёд.

Как и в предыдущих задачах вводим исходные данные: начальное значение аргумента функции Xn , конечное значение аргумента функции Xk , количество точек разбиения функции (количество строк таблицы) N , формулу для шага аргумента функции dX , коэффициенты a , b , c , затем создаем основную таблицу и строим диаграмму (все эти действия были подробно описаны в разделе ) :

Линии тренда на диаграмме

Линии тренда позволяют графически отображать тенденции изменения данных и прогнозировать их дальнейшие изменения . Подобный анализ называется также регрессионным анализом. Используя регрессионный анализ, можно продлить линию тренда в диаграмме за пределы реальных данных для предсказания будущих значений.

Линии тренда могут быть построены на всех двухмерных диаграммах (линию тренда нельзя добавить на объемных, лепестковых, круговых, кольцевых и пузырьковых диаграммах).

Существует шесть различных видов линий тренда:

• Линейная
• Полиномиальная
• Логарифмическая
• Экспоненциальная
• Степенная

Линии тренда, добавленные к графику функции, на сами данные и исходную диаграмму никак не влияют.

Формулы для вычисления линий тренда

Линейная . Используется для линейной аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:

где: m – угол наклона, b – координата пересечения оси абсцисс.

Полиномиальная . Используется для полиномиальной или криволинейной аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:

где: b , c 1 , c 2 , … c 6 – константы.

Можно задать степень полинома от 2 до 6.

Логарифмическая . Используется для логарифмической аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:

где: c и b – константы, ln – функция натурального логарифма.

Экспоненциальная . Используется для экспоненциальной аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:

где: c и b – константы, e – основание натурального логарифма.

Степенная . Используется для степенной аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:

где: c и b – константы.

Примечание . Экспоненциальная и степенная виды аппроксимации недоступны, если значения функции F(x) содержат отрицательные или нулевые значения. Кроме того, логарифмическая и степенная виды аппроксимации недоступны, если значения аргумента функции x содержат отрицательные или нулевые значения. Поскольку в заданиях к лабораторным работам используется отрицательное значение нижней границы аргумента Xn (x0 ), не выбирайте логарифмическую и степенную виды аппроксимации!

Скользящее среднее – это среднее значение за определенный период:

На диаграмме линия, построенная по точкам скользящего среднего, позволяет построить сглаженную кривую, более ясно показывающую закономерность в развитии данных.

Добавление линии тренда к рядам данных

Выделяем диаграмму (щелкаем в любом пустом месте диаграммы), после чего на ленте меню появятся три дополнительные вкладки: Конструктор , Макет и Формат . На вкладке Макет в группе Анализ щелкаем по кнопке .

Транскрипт

1 АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Постановка задачи. Основу математических моделей многих процессов и явлений в физике, химии, биологии, экономике и других областях составляют уравнения различного вида: нелинейные уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных и т.д. Для решения подобных уравнений необходимо иметь возможность вычислять значения функций, входящих в описание математической модели рассматриваемого процесса или явления, при произвольном значении аргумента. Для сложных моделей подобные вычисления могут быть трудоемкими даже при использовании компьютера. Используемые в математических моделях функции могут быть заданы как аналитическим способом (в виде формулы), так и табличным, при котором функция известна только при определенных дискретных значениях аргумента. В частности, если функциональная зависимость получена в результате расчетов, проведенных на ЭВМ, или в процессе измерений, осуществленных в рамках какого-либо эксперимента, то она оказывается заданной именно табличным способом. На практике нам могут понадобиться значения функции и в других точках, отличных от тех, что заданы в таблице. Однако получить эти значения можно только путем сложных расчетов или проведением дорогостоящих экспериментов. Таким образом, с точки зрения экономии времени и средств мы приходим к задаче вычисления приближенных значений функции при любом значении аргумента на основе имеющихся табличных данных. Эта задача решается путем приближенной замены функции более простой функцией, которую нетрудно вычислять при любом значении аргумента x в заданном интервале его изменения. Введенную функцию можно использовать не только для приближенного определения численных значений, но и для проведения аналитических расчетов при теоретическом исследовании модели. Приближение функции более простой функцией называется аппроксимацией (от латинского approximo приближаюсь). Аппроксимирующую функцию строят таким образом, чтобы отклонения (в некотором смысле) от в заданной области было наименьшим. Понятие малого отклонения зависит от того, каким способом оценивается близость двух функций, поэтому оно будет уточняться в дальнейшем при рассмотрении конкретных методов аппроксимации. Непрерывная аппроксимация. Если исходная функция задана аналитическим выражением, то при построении аппроксимирующей функции возможно требовать минимальности отклонения одной функции от другой на некотором непрерывном множестве точек, например, на отрезке. Такой вид аппроксимации называется непрерывным или интегральным. Теоретически для наилучшего приближения целесообразно требовать, чтобы во всех точках некоторого отрезка отклонения аппроксимирующей функции от функции было по абсолютной величине меньше заданной величины:,. В этом случае говорят, что функция с точностью e на интервале равномерно приближает функцию. Практическое получение равномерного приближение

2 представляет большие трудности, и поэтому этот способ применяется главным образом в теоретических исследованиях. Наиболее употребительным является так называемое среднеквадратичное приближение, для которого наименьшее значение имеет величина. Потребовав обращения в нуль частных производных от М по параметрам, определяющим функцию, получают уравнения, позволяющие найти наилучшие (в указанном смысле) значения этих параметров. Аппроксимация, при которой приближение строится на заданном дискретном множестве точек, называется точечной. Для получения среднеквадратичного точечного приближения функции, заданной таблично, аппроксимирующую функцию строят из условия минимума величины где значения функции в точках. Основная сфера применения среднеквадратичного приближения обработка экспериментальных данных (построение эмпирических формул). Другим видом точечной аппроксимации является интерполирование, при котором аппроксимирующая функция принимает в заданных точках, те же значения, что и функция, т.е.,. В этом случае, близость интерполирующей функции к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек. На рисунке показаны качественные графики интерполяционной функции (сплошная линия) и результаты среднеквадратичного приближения (пунктирная линия). Точками отмечены табличные значения функции.,

3 ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИНТЕРПОЛЯЦИИ Пусть известные значения некоторой функции f образуют следующую таблицу: х x 0 x 1 x n f(x) y 0 y 1 y n При этом требуется получить значение функции f для такого значения аргумента х, которое входит в отрезок , но не совпадает ни с одним из значений x i (i=0,1,n). Классический подход к решению задачи построения приближающей функции основывается на требовании строгого совпадения значений f(x) и F(x) в точках x i (i=0, 1, 2, n), т.е. F(x 0)=y 0, F(x 1)=y 1, F(x n)=y n. (1) В этом случае нахождение приближенной функции называют интерполяцией (или интерполированием), а точки x 0, x 1, x n узлами интерполяции. Геометрически это означает, что нужно найти кривую y=f(x) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек M i (x i,y i) (i=0,1,2,n) (см. рис.). В случае, если x нахождение искомой функции называютэкстраполяцией. В дальнейшем, под термином интерполяция будем понимать как первую, так и вторую операции. Задача интерполирования может иметь в общей постановке бесчисленное множество решений или совсем их не иметь. Однако эта задача становится однозначной, если вместо произвольной функции F(x) искать некоторую функцию конкретного вида, удовлетворяющую условиям (1). Наиболее удобной в практическом использовании функцией является алгебраический многочлен степени n: P n (x)=a 0 x n + a 1 x n a n-1 x + a n Чтобы задать многочлен n-ой степени достаточно задать его n+1 коэффициент. Значения многочлена просто вычисляются, его легко продифференцировать, проинтегрировать и т.д. Поэтому алгебраические многочлены нашли широкое применение для приближения функций. Ниже будут подробно изложены широко используемые в географических исследованиях случаи интерполяции линейной функцией (линейная интерполяция) и квадратичной функцией (квадратичная интерполяция).

4 ЛИНЕЙНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ Итак, пусть мы имеем функцию, заданную таблично. Решая задачу интерполяции, найдем в таблице два соседних значения аргумента (обозначим их х k и x k+1), между которыми лежит заданное значение х (х k

5 Заметим, что вторая производная функции f(x) имеет конкретный механический смысл. Если f(x) описывает закон движения материальной точки, то вторая производная этой функции задает ускорение этой точки в момент времени х. Факт существования ограничения на ускорение (ограниченность второй производной) с физической точки зрения означает, что процесс описываемый функцией f(x) протекает относительно равномерно и функция изменяется не очень быстро. Таковой, например, будет функция, задающая изменение суточной температуры воздуха от времени. На практике именно этим критерием “плавности” скорости изменения процесса можно вполне воспользоваться для ответа на вопрос об обоснованности применения линейной интерполяции. Окончательно линейная интерполяция считается применимой, если вносимая ею дополнительная погрешность заметно меньше погрешности измерений натурных данных. Если обозначить через m номер последнего разряда приводимых в таблице значений функции, то погрешность измерений будет равна неравенства: и условие применимости линейной интерполяции запишется в виде (2) Шаг и точность таблицы обычно стараются согласовать так, чтобы условие (2) было выполнено. Бывает, однако, что для выполнения этого условия требуется выбирать слишком малый шаг. В таком случае не считаются с этим условием, а для отыскания промежуточных значений функции пользуются более сложной квадратичной интерполяцией или другими приемами.

6 КВАДРАТИЧНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ Пусть снова дана функция f(x), заданная таблично. Считая, что на промежутке (x k, x k+2) данную функцию с достаточной степенью точности можно заменить квадратичной функцией, то есть часть графика функции можно заменить параболой (см. рис.), необходимо найти значение функции f(x) в некоторой точке x, принадлежащей интервалу (x k, x k+2). Будем искать квадратичную функцию в следующем виде:. Исходя из условия совпадения значений искомой квадратичной функции с табличными значениями функции в трех заданных точках, составим следующую систему уравнений: Это система трех линейных уравнений с тремя неизвестными a, b и с. Ее определитель не равен 0 (если только точки не лежат на одной прямой). Решая составленную систему уравнений матричным способом, получим следующую зависимость для коэффициентова, b и с: Таким образом значение функции f(х) в точке х можно приближенно считать равным Естественно поставить вопрос о погрешности полученной формулы. Рассмотрим разность между точным значением функции f(х) и ее приближенным значением. Обозначим эту разность через (х): (х)= f(х)-ax 2 -bx-c.

7 Мы подошли к задаче об оценке значений функции j (х) для х, пробегающих промежуток (х к, х к+2). В рассматриваемом случае нам придется предполагать, что третья производная функции f(х) на рассматриваемом промежутке непрерывна и удовлетворяет неравенству:. Тогда для (х) справедлива следующая оценка:

8 РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Одной из типовых задач обработки экспериментальных данных (ЭД) является определение количественной зависимости показателей качества объекта от значений его параметров и характеристик внешней среды. Примером такой постановки задачи является установление зависимости между временем обработки запросов к базе данных и интенсивностью входного потока. Время обработки зависит от многих факторов, в том числе от размещения искомой информации на внешних носителях, сложности запроса. Следовательно, время обработки конкретного запроса можно считать случайной величиной. Но вместе с тем, при увеличении интенсивности потока запросов следует ожидать возрастания его среднего значения, т.е. считать, что время обработки и интенсивность потока запросов связаны корреляционной зависимостью. Постановка задачи регрессионного анализа формулируется следующим образом. Имеется совокупность результатов наблюдений. В этой совокупности один столбец соответствует показателю, для которого необходимо установить функциональную зависимость с параметрами объекта и среды, представленными остальными столбцами. Будем обозначать показатель через y * и считать, что ему соответствует первый столбец матрицы наблюдений. Остальные т 1 (m > 1) столбцов соответствуют параметрам (факторам) х 2, х 3, х т. Требуется: установить количественную взаимосвязь между показателем и факторами. В таком случае задача регрессионного анализа понимается как задача выявления такой функциональной зависимости y * = f(x 2, x 3, x т), которая наилучшим образом описывает имеющиеся экспериментальные данные. Допущения: количество наблюдений достаточно для проявления статистических закономерностей относительно факторов и их взаимосвязей; обрабатываемые ЭД содержат некоторые ошибки (помехи), обусловленные погрешностями измерений, воздействием неучтенных случайных факторов; матрица результатов наблюдений является единственной информацией об изучаемом объекте, имеющейся в распоряжении перед началом исследования. Функция f(x 2, x 3, x т), описывающая зависимость показателя от параметров, называется уравнением (функцией) регрессии. Термин “регрессия” (regression(лат.) отступление, возврат к чему-либо) связан со спецификой одной из конкретных задач, решенных на стадии становления метода, и в настоящее время не отражает всей сущности метода, но продолжает применяться. Решение задачи регрессионного анализа целесообразно разбить на несколько этапов: предварительная обработка ЭД; выбор вида уравнений регрессии; вычисление коэффициентов уравнения регрессии; проверка адекватности построенной функции результатам наблюдений.

9 ВЫБОР ВИДА УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ Задача определения функциональной зависимости, наилучшим образом описывающей ЭД, связана с преодолением ряда принципиальных трудностей. В общем случае для стандартизованных данных функциональную зависимость показателя от параметров можно представить в виде y = f(u 1, u 2,…u p) + e (1) где f заранее не известная функция, подлежащая определению; e – ошибка аппроксимации ЭД. Указанное уравнение принято называть выборочным уравнением регрессии y на u. Это уравнение характеризует зависимость между вариацией показателя и вариациями факторов. А мера корреляции измеряет долю вариации показателя, которая связана с вариацией факторов. Иначе говоря, корреляцию показателя и факторов нельзя трактовать как связь их уровней, а регрессионный анализ не объясняет роли факторов в создании показателя. Еще одна особенность касается оценки степени влияния каждого фактора на показатель. Регрессионное уравнение не обеспечивает оценку раздельного влияния каждого фактора на показатель, такая оценка возможна лишь в случае, когда все другие факторы не связаны с изучаемым. Если изучаемый фактор связан с другими, влияющими на показатель, то будет получена смешанная характеристика влияния фактора. Эта характеристика содержит как непосредственное влияние фактора, так и опосредованное влияние, оказанное через связь с другими факторами и их влиянием на показатель. В регрессионное уравнение не рекомендуется включать факторы, слабо связанные с показателем, но тесно связанные с другими факторами. Не включают в уравнение и факторы, функционально связанные друг с другом (для них коэффициент корреляции равен 1). Включение таких факторов приводит к вырождению системы уравнений для оценок коэффициентов регрессии и к неопределенности решения. Функция f должна подбираться так, чтобы ошибка e в некотором смысле была минимальна. Существует бесконечное множество функций, описывающих ЭД абсолютно точно (e = 0), т.е. таких функций, которые для всех значений параметров u j,2, u j,3, u j,т принимают в точности соответствующие значения показателя y i, i =1, 2, п. Вместе с тем, для всех других значений параметров, отсутствующих в результатах наблюдений, значения показателя могут принимать любые значения. Понятно, что такие функции не соответствуют действительной связи между параметрами и показателем. В целях выбора функциональной связи заранее выдвигают гипотезу о том, к какому классу может принадлежать функция f, а затем подбирают “лучшую” функцию в этом классе. Выбранный класс функций должен обладать некоторой “гладкостью”, т.е. “небольшие” изменения значений аргументов должны вызывать “небольшие” изменения значений функции (ЭД содержат некоторые ошибки измерений, а само поведение объекта подвержено влиянию помех, маскирующих истинную связь между параметрами и показателем). Простым, удобным для практического применения и отвечающим указанному условию является класс полиномиальных функций (2) Для такого класса задача выбора функции сводится к задаче выбора значений коэффициентов a 0, a j, a jk, a jj,. Однако универсальность полиномиального представления обеспечивается только при возможности неограниченного увеличения степени полинома, что не всегда допустимо на практике, поэтому приходится применять и другие виды функций.

10 Частным случаем, широко применяемым на практике, является полином первой степени или уравнение линейной регрессии. (3) Это уравнение в регрессионном анализе следует трактовать как векторное, ибо речь идет о матрице данных, i =1, 2, n. () Обычно стремятся обеспечить такое количество наблюдений, которое превышало бы количество оцениваемых коэффициентов модели. Для линейной регрессии при п > т количество уравнений превышает количество подлежащих определению коэффициентов полинома. Но и в этом случае нельзя подобрать коэффициенты таким образом, чтобы ошибка в каждом скалярном уравнении обращалась в ноль, так как к неизвестным относятся а j и e i, их количество n +т 1, т.е. всегда больше количества уравнений п. Аналогичные рассуждения справедливы и для полиномов степени, выше первой. Для выбора вида функциональной зависимости можно рекомендовать следующий подход: в пространстве параметров графически отображают точки со значениями показателя. При большом количестве параметров можно строить точки применительно к каждому из них, получая двумерные распределения значений; по расположению точек и на основе анализа сущности взаимосвязи показателя и параметров объекта делают заключение о примерном виде регрессии или ее возможных вариантах; после расчета параметров оценивают качество аппроксимации, т.е. оценивают степень близости расчетных и фактических значений; если расчетные и фактические значения близки во всей области задания, то задачу регрессионного анализа можно считать решенной. В противном случае можно попытаться выбрать другой вид полинома или другую аналитическую функцию, например периодическую.

11 ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Систему уравнений (4) на основе имеющихся ЭД однозначно решить невозможно, так как количество неизвестных всегда больше количества уравнений. Для преодоления этой проблемы нужны дополнительные допущения. Здравый смысл подсказывает: желательно выбрать коэффициенты полинома так, чтобы обеспечить минимум ошибки аппроксимации ЭД. Могут применяться различные меры для оценки ошибок аппроксимации. В качестве такой меры нашла широкое применение среднеквадратическая ошибка. На ее основе разработан специальный метод оценки коэффициентов уравнений регрессии метод наименьших квадратов (МНК). Этот метод позволяет получить оценки максимального правдоподобия неизвестных коэффициентов уравнения регрессии при нормальном распределения вариант, но его можно применять и при любом другом распределении факторов. В основе МНК лежат следующие положения: значения величин ошибок и факторов независимы, а значит, и некоррелированы, т.е. предполагается, что механизмы порождения помехи не связаны с механизмом формирования значений факторов; математическое ожидание ошибки e должно быть равно нулю (постоянная составляющая входит в коэффициент a 0), иначе говоря, ошибка является центрированной величиной; выборочная оценка дисперсии ошибки должна быть минимальна. Рассмотрим применение МНК применительно к линейной регрессии стандартизованных величин. Для центрированных величин u j коэффициент a 0 равен нулю, тогда уравнения линейной регрессии. (5) Здесь введен специальный знак “^”, обозначающий значения показателя, рассчитанные по уравнению регрессии, в отличие от значений, полученных по результатам наблюдений. По МНК определяются такие значения коэффициентов уравнения регрессии, которые обеспечивают безусловный минимум выражению. (6) Минимум находится приравниванием нулю всех частных производных выражения (6), взятых по неизвестным коэффициентам, и решением системы уравнений (7) Последовательно проведя преобразования и используя введенные ранее оценки коэффициентов корреляции

12 получим. (8) Итак, получено т 1 линейных уравнений, что позволяет однозначно вычислить значения a 2, a 3, a т. Применение МНК для нелинейных функций практически ничем не отличается от рассмотренной схемы (только коэффициент a 0 в исходном уравнении не равен нулю). Например, пусть необходимо определить коэффициенты параболической регрессии = a 0 + a 2 u 2 + a 22 u 2 2. Выборочная дисперсия ошибки. На ее основе можно получить следующую систему уравнений После преобразований система уравнений примет вид Учитывая свойства моментов стандартизованных величин, запишем Определение коэффициентов нелинейной регрессии основано на решении системы линейных уравнений. Для этого можно применять универсальные пакеты численных методов или специализированные пакеты обработки статистических данных. С ростом степени уравнения регрессии возрастает и степень моментов распределения параметров, используемых для определения коэффициентов. Так, для

13 определения коэффициентов уравнения регрессии второй степени используются моменты распределения параметров до четвертой степени включительно. Известно, что точность и достоверность оценки моментов по ограниченной выборке ЭД резко снижается с ростом их порядка. Применение в уравнениях регрессии полиномов степени выше второй нецелесообразно. Качество полученного уравнения регрессии оценивают по степени близости между результатами наблюдений за показателем и предсказанными по уравнению регрессии значениями в заданных точках пространства параметров. Если результаты близки, то задачу регрессионного анализа можно считать решенной. В противном случае следует изменить уравнение регрессии (выбрать другую степень полинома или вообще другой тип уравнения) и повторить расчеты по оценке параметров. При наличии нескольких показателей задача регрессионного анализа решается независимо для каждого из них. Анализируя сущность уравнения регрессии, следует отметить следующие положения. Рассмотренный подход не обеспечивает раздельной (независимой) оценки коэффициентов изменение значения одного коэффициента влечет изменение значений других. Полученные коэффициенты не следует рассматривать как вклад соответствующего параметра в значение показателя. Уравнение регрессии является всего лишь хорошим аналитическим описанием имеющихся ЭД, а не законом, описывающим взаимосвязи параметров и показателя. Это уравнение применяют для расчета значений показателя в заданном диапазоне изменения параметров.

Постановка задачи, основные понятия Конечные разности и их свойства Интерполяционные многочлены Оценка остаточного члена интерполяционных многочленов Постановка задачи, основные понятия Пусть, то есть

Кременчугский национальный университет имени Михаила Остроградского МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ Математические методы вычислений на ЭВМ А.П. Черный, д.т.н., профессор http:\\saue.kdu.edu.ua 2 ЛЕКЦИЯ

МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ И АППРОКСИМАЦИИ Интерполяция Интерполяция способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений Пусть в ходе эксперимента при изменении

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧИСЛЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ В настоящем разделе рассмотрены задачи приближения функций с помощью многочленов Лагранжа и Ньютона с использованием сплайн интерполяции

66 Таким образом точка А является точкой глобального максимума а точка М- точкой глобального минимума данной функции в замкнутой области D 5 Эмпирические формулы Определение параметров эмпирических формул

1 Многочлен Лагранжа Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции (x i = 01 x [ a b] i i i Возникает задача приближенного восстановления неизвестной функции (x в произвольной точке x Для

Построение ММ статики технологических объектов При исследовании статики технологических объектов наиболее часто встречаются объекты со следующими типами структурных схем (рис: О с одной входной х и одной

Постановка задачи аппроксимации Линейная, нелинейная (второго порядка) аппроксимация Лекция 5 Постановка задачи аппроксимации Пусть, изучая неизвестную функциональную зависимость y=f(x), был произведен

Лекция 3 5. МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматриваются сеточные табличные функции [ a b] y 5. определенные в узлах сетки Ω. Каждая сетка характеризуется шагами h неравномерного или h

Тема. Численные методы решения задачи аппроксимации Будем считать, что является функцией аргумента. Это означает, что любому значению из области определения поставлено в соответствие значение. На практике

ЛЕКЦИЯ 3 Методы обработки экспериментальных данных Интерполирование В инженерных расчетах часто требуется установить функцию f(x) для всех значений х отрезка , если известны ее значения в некотором

Стр. Интерполяция – изменение (лат.) Аппроксимация – приближение (лат.) Интерполяция сеточных функций Дана сеточная функция, заданная таблицей: Лекция = f () Будем считать данную функцию f () и некоторую

Лекция 4. Решение систем линейных уравнений методом простых итераций. Если система имеет большую размерность (6 уравнений) или матрица системы разрежена, более эффективны для решения непрямые итерационные

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е.

Численные методы Тема 2 Интерполяция В И Великодный 2011 2012 уч год 1 Понятие интерполяции Интерполяция это способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям

Метод Эйлера Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения () f (6.) может быть приближенно решена численными методами. Для нахождения частного решения уравнения (6.) на отрезке [ a

Лабораторная работа Интерполяция и аппроксимация функций Цель работы изучение полиномиальных функций, методов интерполирования в программном комплексе Matlab. Содержание: 1.Представление полиномов и вычисление

46 Глава 9. Регрессионный анализ 9.. Задачи регрессионного анализа Во время статистических наблюдений как правило получают значения нескольких признаков. Для простоты будем рассматривать в дальнейшем двумерные

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Ижевский государственный технический университет” УТВЕРЖДАЮ Ректор И.В. Абрамов

Голубев ВО Литвинова ТЕ Реализация алгоритма построения статистической модели объекта по методу Брандона Постановка задачи Статистические модели создают на основании имеющихся экспериментальных данных

6. Поиск эмпирических формул. Аппроксимация 6.. Понятие регрессии и корреляции При изучении различных явлений приходится сталкиваться с функциональными связями между двумя и более переменными. Когда эти

Линейная корреляционная зависимость Часто на практике требуется установить вид и оценить силу зависимости изучаемой случайной величины Y от одной или нескольких других величин (случайных или неслучайных).

ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ Е. С. Тверская МГТУ им. Н.Э. Баумана Москва Методы аппроксимации функции. Постановка задачи приближения функции. Задачи, приводящие к задаче приближения функций. Функция

Лекция продолжение лекции МЕТОДЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ А ТОЧЕЧНЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Пусть на множестве точкой ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ МНОГОЧЛЕНОВ задана сетка а на сетке задана сеточная

Лабораторная работа 6. Построение эмпирической зависимости теплоемкости вещества от температуры. Понятие статистической зависимости Две величины (например, x и y), могут быть независимыми, либо связанными

3 Интерполирование функций полиномом Лагранжа Цель: формирование навыков интерполирования таблично заданных функций полиномом Лагранжа; оценка погрешности полинома Лагранжа Краткие теоретические сведения

6 Методы приближения функций. Наилучшее приближение. Рассмотренные в прошлой главе методы приближения требуют строгой принадлежности узлов сеточной функции результирующему интерполянту. Если не требовать

3. Интерполяция данных 1 3. Интерполяция данных Практически всегда выборки случайных чисел (полученные в результате эксперимента или сгенерированные в рамках методов Монте-Карло) хранятся на компьютерах

Лекция 5. Элементы теории корреляции.. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Две случайные величины могут быть связаны функциональной зависимостью, т.е. изменение одной из них по

ЛЕКЦИЯ 7 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ На прошлой лекции была рассмотрена задача решения переопределенной системы. Такая система имеет вид: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1 x = f 1, { a 1 x 1 + a x + + a x = f, { a 1 x 1 + a x

Регрессионный анализ [Часть II, стр. 59-68] Регрессионный анализ предназначен для получения теоретического уравнения регрессии = f(,), вид которого задается, исходя из особенностей изучаемой системы случайных

ОДНОФАКТОРНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Цель работы проведение однофакторного регрессионного анализа на основе полиномиальных моделей первого, второго и третьего порядка. Теоретические основы. Под регрессионным

Математическое моделирование объектов теплоэнергетики Лекция 1 Нелинейные алгебраические и трансцендентные уравнения. Термины и понятия 2 Моделирование это исследование объекта или системы объектов путем

Лекция 0.3. Коэффициент корреляции В эконометрическом исследовании вопрос о наличии или отсутствии зависимости между анализируемыми переменными решается с помощью методов корреляционного анализа. Только

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Дано: точки наблюдения y (их количество +) a b ; ; y y y y y Найти функцию: F F: y Определение Точки y называются узлами интерполяции Графическая интерпретация

Аппроксимация по МНК Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (аппроксимация) Одна из главных задач математической статистики нахождение закона распределения случайной

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ Математические модели и численные методы Математические модели содержат соотношения, составленные на основе теоретического анализа изучаемых процессов или полученные

Аппроксимация таблично заданных функций Таблично заданные функции. Зависимость разрядного напряжения газового промежутка с однородным полем от расстояния между электродами Расстояние между шарами, см Диаметр

МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 4 Регрессионный анализ Функциональная статистическая и корреляционная зависимости Во многих прикладных (в том числе экономических) задачах

3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ До сих пор мы рассматривали способы построения прогнозных моделей стационарных процессов, не учитывая одной весьма важной особенности.

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет

ПРИБЛИЖЕНИЕ ТАБЛИЧНЫХ ФУНКЦИЙ ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Постановка задачи аппроксимации По результатам экспериментов получена таблица с произвольным расположением аргументов: x, y,. Аналитическое

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Факультет дистанционных форм обучения Заочное отделение “ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ,

5 Методы приближения функций. Интерполяция табличных функций. 5.1 Постановка задачи приближения функций. Аппроксимация функций заключается в приближенной замене заданной функции f(x некоторой функцией

Кременчугский национальный университет имени Михаила Остроградского МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ Математические методы вычислений на ЭВМ А.П. Черный, д.т.н., профессор http:\\sue.kdu.edu.u 2 ЛЕКЦИЯ

55 3 РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ 3 Постановка задачи регрессионного анализа Экономические показатели функционирования предприятия (отрасли хозяйства) как правило представляются таблицами статистических данных:

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.Э. БАУМАНА С.П.Еркович ПРИМЕНЕНИЕ РЕГРЕССИОННОГО И КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАВИСИМОСТЕЙ В ФИЗИЧЕСКОМ ПРАКТИКУМЕ. Москва, 994.

Тема 2.3. Построение линейно-регрессионной модели экономического процесса Пусть имеются две измеренные случайные величины (СВ) X и Y. В результате проведения n измерений получено n независимых пар. Перед

АППРОКСИМАЦИЯ На практике часто приходится сталкиваться с задачей сглаживания экспериментальных данных задача аппроксимации. Основная задача аппроксимации построение приближенной (аппроксимирующей) функции

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ТАБЛИЧНО ЗАДАННЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ПОЛИНОМАМИ В СРЕДЕ ЭТ MS EXCEL И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MATHCAD Алешин А. О., Растеряев Н.В. Донской государственный технический университет (ДГТУ) Ростов-на-Дону,

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 4 Интерполяция табличных данных. Краткие теоретические сведения Задачей приближения или аппроксимации функций (от лат. approimo приближаюсь) называется задача замены одних математических

Лекция 8 Тема Сравнение случайных величин или признаков. Содержание темы Аналогия дискретных СВ и выборок Виды зависимостей двух случайных величин (выборок) Функциональная зависимость. Линии регрессии.

Министерство образования и науки РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) Факультет дистанционных форм обучения Заочное отделение ГПЕмгушева, МДУлымжиев ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ

0 7 АППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Первоначально данные исследований представляют в виде таблиц. Однако табличные данные не имеют наглядности и не могут быть использованы

Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A() квадратная матрица

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Выбор вида и определение параметров эмпирической зависимости Методические указания по теоретической части. Эмпирический подход. Часто перед исследованием в любой области возникает следующая задача. Имеется

Лекция 5. Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов. В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично

Лабораторная работа 6. Аппроксимация функций Аппроксимацией (приближением) функции f (x) называется нахождение такой функции g (x) (аппроксимирующей функции), которая была бы близка заданной. Критерии

«Оптимизация и математические методы принятия решений» ст. преп. каф. СС и ПД Владимиров Сергей Александрович Лекция 4 Методы математической статистики в задачах принятия решений Введение С О Д Е Р Ж А

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ МНОГОЧЛЕНАМИ Введение Весьма часто ученым и инженерам приходиться сталкиваться с таблично заданными функциями. Такого типа функции возникают при работе с экспериментальными, статистическими

Глава 7 Обработка результатов эксперимента в OpeOffice.org Calc В этой главе мы рассмотрим возможности пакета OpeOffice.org Calc при решении задач обработки экспериментальных данных. Одной из распространенных

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ (МНК) 1 Пусть вы изучаете зависимость одной физической величины у от другой х, то есть ищите зависимость у(х). Например, это может быть зависимость плотности вещества от температуры

Лабораторная работа 5. Линейная и квадратичная интерполяция. Постановка задачи аппроксимации функций. Постановка задачи: требуется приближенно заменить (аппроксимировать) заданную функцию f(x) некоторой

9.5.4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Вариант на отрезке [ ; ] с шагом методом Эйлера модифицированным методом Эйлера и методом Рунге-Кутта. Найти точное решение и

7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Линейная регрессия Метод наименьших квадратов () Линейная корреляция () () 1 Практическое занятие 7 КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Для решения практических

Занятие 3 РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ ДЛЯ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА Регрессионный анализ часто используется в химии с целью обработки экспериментальных данных, совокупность которых представлена некоторой

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Метод итераций Пусть дано уравнение с одной неизвестной ((5 Метод отыскания приближенных значений корня уравнения (5 с помощью формулы (называют просто методом итерации При решении таких уравнений возникает

МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» БОРИСОГЛЕБСКИЙ ФИЛИАЛ (БФ ФГБОУ ВО «ВГУ») УТВЕРЖДАЮ Заведующий

0 Оценка тесноты любой корреляционной связи Выше рассматривалась теснота линейной корреляционной связи Как оценить тесноту любой корреляционной связи? Пусть данные наблюдений над признаками X и Y сведены

Пример.

Экспериментальные данные о значениях переменных х и у приведены в таблице.

В результате их выравнивания получена функция

Используя метод наименьших квадратов , аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y=ax+b (найти параметры а и b ). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

Суть метода наименьших квадратов (МНК).

Задача заключается в нахождении коэффициентов линейной зависимости, при которых функция двух переменных а и b принимает наименьшее значение. То есть, при данных а и b сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от найденной прямой будет наименьшей. В этом вся суть метода наименьших квадратов.

Таким образом, решение примера сводится к нахождению экстремума функции двух переменных.

Вывод формул для нахождения коэффициентов.

Составляется и решается система из двух уравнений с двумя неизвестными. Находим частные производные функции по переменным а и b , приравниваем эти производные к нулю.

Решаем полученную систему уравнений любым методом (например методом подстановки или ) и получаем формулы для нахождения коэффициентов по методу наименьших квадратов (МНК).

При данных а и b функция принимает наименьшее значение. Доказательство этого факта приведено .

Вот и весь метод наименьших квадратов. Формула для нахождения параметра a содержит суммы , , , и параметр n – количество экспериментальных данных. Значения этих сумм рекомендуем вычислять отдельно. Коэффициент b находится после вычисления a .

Пришло время вспомнить про исходый пример.

Решение.

В нашем примере n=5 . Заполняем таблицу для удобства вычисления сумм, которые входят в формулы искомых коэффициентов.

Значения в четвертой строке таблицы получены умножением значений 2-ой строки на значения 3-ей строки для каждого номера i .

Значения в пятой строке таблицы получены возведением в квадрат значений 2-ой строки для каждого номера i .

Значения последнего столбца таблицы – это суммы значений по строкам.

Используем формулы метода наименьших квадратов для нахождения коэффициентов а и b . Подставляем в них соответствующие значения из последнего столбца таблицы:

Следовательно, y = 0.165x+2.184 – искомая аппроксимирующая прямая.

Осталось выяснить какая из линий y = 0.165x+2.184 или лучше аппроксимирует исходные данные, то есть произвести оценку методом наименьших квадратов.

Оценка погрешности метода наименьших квадратов.

Для этого требуется вычислить суммы квадратов отклонений исходных данных от этих линий и , меньшее значение соответствует линии, которая лучше в смысле метода наименьших квадратов аппроксимирует исходные данные.

Так как , то прямая y = 0.165x+2.184 лучше приближает исходные данные.

Графическая иллюстрация метода наименьших квадратов (мнк).

На графиках все прекрасно видно. Красная линия – это найденная прямая y = 0.165x+2.184 , синяя линия – это , розовые точки – это исходные данные.

Для чего это нужно, к чему все эти аппроксимации?

Я лично использую для решения задач сглаживания данных, задач интерполяции и экстраполяции (в исходном примере могли бы попросить найти занчение наблюдаемой величины y при x=3 или при x=6 по методу МНК). Но подробнее поговорим об этом позже в другом разделе сайта.

Доказательство.

Чтобы при найденных а и b функция принимала наименьшее значение, необходимо чтобы в этой точке матрица квадратичной формы дифференциала второго порядка для функции была положительно определенной. Покажем это.

Кафедра: ________Информатики и компьютерных технологий _______________

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине _______________ИНФОРМАТИКА __________________________

(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)

ЗАДАНИЕ

студенту группы МГП-12 Румянцева Н.А.

(шифр группы) (Ф.И.О.)

1. Тема работы: _Реализация численного метода средствами Microsoft Excel и с помощью средств пакета MathCAD

2. Исходные данные к работе: _Вариант № 17__________________________________

4. Перечень графического материала: _Представление результатов в виде экранных форм________________________________ ____________________________________

5. Срок сдачи законченной работы: ___01.05.2013г. ____________________________

Руководитель работы: ________ ______________ /_________/

(должность) (подпись) (Ф.И.О.)

Дата выдачи задания: __15.02.2013 г. ______________

Аннотация

Пояснительная записка представляет собой отчет о выполнении курсовой работы. В ней рассматриваются вопросы по нахождению эмпирических формул методом наименьших квадратов (МНК) посредством возможностей пакета Microsoft Excel, а также рассматривается решение данной задачи в пакете MathCAD. В работе получены уравнения различных видов с помощью аппроксимации линейной, квадратичной и экспоненциальной зависимостей. По окончании работы сделан вывод, каким методом задача решена лучше всего.

Страниц 24, таблиц 3, рисунков 14, приложений 0.

Abstract

The explanatory note represents the report on term paper performance. In it questions on a finding of empirical formulas by a method of the least squares (МНК) by means of possibilities of package Microsoft Excel are considered, and also the decision of the given problem in Turbo Pascal 7.0 is considered. In work the equations of various kinds by means of approximation linear, square-law and экспоненциальной dependences are received. Upon termination of work the conclusion is drawn, the problem is solved by what method is better.

Pages 24, tables 3, figures 14, appendixes 0.

Аннотация. 2

Введение. 4

Постановка задачи. 5

Общие сведения. 6

Линейная зависимость. 7

Нелинейная зависимость. 7

Исходные данные. 10

Расчет аппроксимаций в табличном процессоре Excel 11

Построение графиков. 17

Функция ЛИНЕЙН.. 18

Выполнение аппроксимации в программе MathCAD.. 19

Введение. 19

Линейная аппроксимация в программе MathCAD.. 21

Экспоненциальная аппроксимация в программе MathCAD.. 22

Полиномальная (квадратичная аппроксимация в программе MathCAD.. 23

Список литературы.. 24

Введение

Аппроксимация (от латинского “approximare” -“приближаться”) – научный метод, суть которого состоит в замене одних, известных значений, другими, приближёнными и более простыми. Эти простые значения должны удовлетворять некой зависимости, нахождение которой, в целом, и есть конечная цель этого метода.

Известно, что функциональная зависимость между величинами может быть либо точной (этот случай характерен для теоретических измышлений), либо приближённой (что более характерно для экспериментально полученных данных). Эта неточность, отклонение полученного значения от искомой зависимости, на графике выражающаяся в разбросе точек на некотором расстоянии от кривой (здесь я немного забегаю вперёд) может иметь несколько причин:

1. Погрешности прямых измерений (приборные), ошибки, допускаемые человеком (здесь я, конечно, не говорю о грубых ошибках, дающих значительные отклонения).

2. Несовершенством человеческих знаний о природе – отнюдь не все современные научные концепции позволяют точно рассчитать какие-либо значения для реальных случаев – многие из них направлены на случаи идеальные.

3. Сложностью и изменчивостью самой природы (особенно – живой). Например, в случае проведения социологических исследований, точное совпадение экспериментальных данных с теоретическими вовсе и не требуется – даже незначительная корелляция результатов эксперимента с ожидаемыми закономерностями уже может сказать специалистам о многом.

При выборе аппроксимации следует исходить из конкретной задачи исследования. Обычно, чем более простое уравнение используется для аппроксимации, тем более приблизительно получаемое описание зависимости. Поэтому важно считывать, насколько существенны и чем обусловлены отклонения конкретных значений от получаемого тренда. При описании зависимости эмпирически определенных значений можно добиться и гораздо большей точности, используя какое-либо более сложное, многопараметрическое уравнение. Однако нет никакого смысла стремиться с максимальной точностью передать случайные отклонения величин в конкретных рядах эмпирических данных. Гораздо важнее уловить общую закономерность, которая в данном случае наиболее логично и с приемлемой точностью выражается именно двухпараметрическим уравнением степенной функции. Таким образом, выбирая метод аппроксимации, исследователь всегда идет на компромисс: решает, в какой степени в данном случае целесообразно и уместно «пожертвовать» деталями и, соответственно, насколько обобщенно следует выразить зависимость сопоставляемых переменных. Наряду с выявлением закономерностей, замаскированных случайными отклонениями эмпирических данных от общей закономерности, аппроксимация позволяет также решать много других важных задач: формализовать найденную зависимость; найти неизвестные значения зависимой переменной путем интерполяции или, если это допустимо, экстраполяции.

Постановка задачи

1. Используя метод наименьших квадратов функцию , заданную таблично, аппроксимировать

а) многочленом первой степени ;

б) многочленом второй степени ;

в) экспоненциальной зависимостью .

2. Для каждой зависимости вычислить коэффициент детерминированности.

3. Вычислить коэффициент корреляции (только в случае а).

4. Для каждой зависимости построить линию тренда.

5. Используя функцию ЛИНЕЙН вычислить числовые характеристики зависимости y от x .

6. Сравнить свои вычисления с результатами, полученными при помощи функции ЛИНЕЙН.

7. Сделать вывод, какая из полученных формул наилучшим образом аппроксимирует функцию .

8. Выполнить обработку заданных экспериментальных данных с использованием встроенных функций интерполяции (аппроксимации) и регрессии пакета MathCAD и сравнить результаты с результатами, полученными в Microsoft Excel.

Общие сведения

При экспериментальном изучении функциональной зависимости y = f(x) производят измерения величины y при различных значениях величины x. Результаты представляют в виде таблицы 1 или графически.

X	x 1	x 2	×××	x n
Y	x 1	Y 2	×××	y n

Таблица 1

Задача заключается в аналитическом представлении искомой функциональной зависимости, т.е. в подборе формулы, описывающей результаты эксперимента. Эмпирическую формулу обычно выбирают из достаточно узкого класса функций, рассматривая, например, множество функций линейных, степенных, показательных и т.п. При этом руководствуются какими либо теоретическими соображениями или соображениями простоты представления эмпирического материала. Найденная эмпирическая формула должна быть такой, чтобы вычисленные по ней значения функций при X=x i возможно мало отличалось бы от опытных данных y i (i = 1, 2, …,n).

Обозначим выбранную функциональную зависимость

будет минимальной. Таким образом, параметры а 1 , а 2 , …, а m определяются из условия, чтобы сумма квадратов отклонений измеренных значений y i от принимала наименьшее значение.

Используя необходимые условия экстремума функции нескольких переменных, получим нормальную систему для определения коэффициентов а 1 , а 2 , …, а m

где а1, а2 –неизвестные параметры, а система (1.3) примет вид

где a, b –постоянные причем x > 0 и y > 0.

Логарифмируя равенство (1.2.1), получим

и применив формулы (1.1.2), найдем значения параметров b и u, а затем значение параметра а.

Показательную зависимость

Полагая v = lny, c = lna, Y = x, получим линейную зависимость

Таблица №3.6

Чем меньше значение Q, тем лучше соответствует эмпирическая формула экспериментальным данным.

В каждом задании требуется методом наименьших квадратов найти теоретическую функциональную зависимость для функции, заданной таблично. В качестве теоретической функциональной зависимости использовать:

– Многочлен первой степени ,

– Показательную функцию ,

– Степенную функцию ,

– Многочлен второй степени .

Для каждой зависимости найти теоретическое значение функции, сумму квадратов отклонений эмпирических значений функции от теоретических значений, указать наименьшее значение этой величины и аппроксимирующую функцию, которой оно соответствует. Построить линию тренда для каждой зависимости и показать уравнение этой линии на диаграмме. Показать на диаграмме величину коэффициента детерминированности R 2 . Этот коэффициент вычисляется по формуле

,

(2.1)

где -заданные значения функции,

Теоретические значения функции,

Среднее арифметическое значение, i = 1, 2, …,n.

Если коэффициент детерминированности равен 1, то теоретические и эмпирические значения функции полностью совпадают. Если коэффициент

детерминированности равен 0, то теоретическая зависимость выбрана неудачно.

Исходные данные

Был проведён некоторый эксперимент. Его результаты записаны в виде таблицы, где x i – величина, задаваемая исследователем (например – концентрация реагентов в химическом растворе), y i – измеренная величина (в нашем примере это может быть скорость протекания реакции).

x i	y i	x i	y i	x i	y i	x i	y i	x i	y i
0.21	1.62	4.98	40.09	7.96	63.31	12.33	97.77	17.32	126.45
1.19	8.65	5.49	43.56	8.32	67.45	13.21	105.34	18.43	144.34
2.43	16.76	6.07	48.45	9.43	72.87	14.72	112.56	19.38	160.45
3.12	24.45	6.81	52.21	10.21	81.34	15.53	121.89	20.45	161.34
4.54	32.87	7.21	57.34	11.54	89.45	16.23	108.54	21.22	170.59

Таблица 2

Расчет аппроксимаций в табличном процессоре Excel

В практике любителя микроконтроллеров нередко возникает необходимость работы с каким-либо аналоговым датчиком, например, терморезистором или термопарой. Многие из аналоговых датчиков обладают нелинейной характеристикой, которая обычно приводится в документации в виде графика.

По горизонтали показано выходное напряжение датчика, а по вертикали – измеряемая величина. При разработке программы, обрабатывающей сигнал с подобного датчика возникает проблема: как в программе реализовать подобную характеристику датчика в виде функции?

Наиболее простой метод заключается в замене сложной кривой ломаной линией, как показано на следующем рисунке.

Тонкая синяя линия состоит из отрезков прямых, по возможности максимально совпадающей с основной кривой. Работать с отрезками прямых в программе значительно проще, т. к. математически прямая описывается простым уравнением Y = k * X + c . Разумеется, замена гладкой кривой прямолинейными участками дает лишь приближенную картину соответствия X и Y , но тут уж надо идти на компромиссы.

Итак, мы заменили исходную кривую ломаной линией, т. е. выполнили кусочно-линейную аппроксимацию.

Ломаная линия определяется координатами (X;Y) точек ее изломов, т. е. для нашего случая это точки (0.8; 83), (2.2; 88), (3; 88), (4.2; 80), (5.2; 70), (7.8; 30), (10; 20) и (14.8; 12).

AB задается координатами двух точек (XA; YA) и (XB; YB) . Отрезок – это часть прямой, а уравнение прямой, как уже было сказано, описывается так: Y = k*X + c . Так как обе точки лежат на прямой, можно составить систему из двух уравнений:

YA = k*XA + с
YB = k*XB + с

В этой системе у нас два неизвестных k и c, следовательно, для их нахождения эту систему надо решить. Надеюсь, решение системы уравнений труда не составит, поэтому сам процесс не привожу, а привожу только готовое решение:

k = (YA – YB)/(XA – XB); с = YA – k * XA

Таким образом, возвращаясь к нашей ломаной, мы по вышеприведенным формулам легко получим уравнения для каждого из отрезков ломаной по координатам точек ее излома. Остается лишь описать процесс на языке Си.{code}

#define PT_CNT 8

typedef struct{ float X, Y;

} POINT;