нальности (∂ f ∂ ϕ ) 2 . Отсюда видно, что коэффициент инерции объекта зави-
сит от выбора обобщенной координаты и может быть пересчитан.
КЭ нестационарной голономной одностепенной системы имеет струк-
туру квадратного полинома относительно обобщенной скорости q & , коэффи-
циенты которой в общем случае зависят от q и t :
2T = aq & 2 + 2a 1 q & + 2a 0 , при a = a (q ,t ), a 1 = a 1 (q ,t ), a 0 = a 0 (q ,t ) (5.10)
Размерность коэффициентов a , a 0 ,a 1 определяем по принципу Л.Эйлера: все слагаемые в выражениях должны иметь одинаковую размерность.
Область пространства, в которой к материальному объекту приложена сила, называется векторным силовым полем . Эта область может быть трехмерной (например-шаровой), либо двумерной, либо представлять отрезок прямой или кривой линии. Обычно считают, что сила зависит только от координат (x , y , z ) точки приложения силы, либо – от одной или двух координат, либо – постоянная по модулю и направлению. Допускаются также случаи, когда силы зависят и от скорости точки и от времени, т.е. сила задана в области пространства координат, скоростей, времени. Встречаются случаи, ко-
|
гда сила зависит от ускорения. |
||||||||||||||||||||||
|
в мгновение t в системе отсчета Oxyz называется |
||||||||||||||||||||||
|
Мощностью силы F |
||||||||||||||||||||||
|
скаляр, равный скалярному произведению силы |
на скорость точки прило- |
|||||||||||||||||||||
|
жения силы v в этой системе: |
м/c=Вт) |
|||||||||||||||||||||
|
Fv cos(F ,v ) |
||||||||||||||||||||||
|
Zz, (Н |
Согласно данному определению мощность силы есть положительный скаляр, если угол между силой и скоростью острый (в этом случае сила способствует движению, нарастанию кинетической энергии) и отрицательна, если угол тупой.(когда сила замедляет движение). Мощность силы равна нулю, если сила перпендикулярна к скорости точки приложения силы, или в случае, если точка приложения силы не имеет скорости.
Мощности в двух системах отсчета различны в случае, если системы движутся одна относительно другой, поэтому следует указывать систему отсчета, в которой вычисляется мощность сил.
Мощность сил трения, также как и других диссипативных сил, направленных против движения, отрицательна.
Мощность силы сцепления колеса с дорогой (если нет проскальзывания колеса) равна нулю, поскольку точка приложения силы не имеет скорости.
Рассмотрим случай, когда силы зависят только от положения точки при-
U (x , y , z ) – функция положения точки приложения силы, т.е. – функция декартовых (или обобщенных) координат. В этом случае силу F (x , y , z ) называют потенциальной , а “силовую функцию” U с обратным знаком, называют
потенциальной энергией : П (x , y , z ) = − U (x , y , z ) . Область пространства, в ко-
торой на тело действует потенциальная сила, называется потенциальным силовым полем . Под знаком производной можно добовлять любую константу, поэтому силовая функция и потенциальная энергия определяется с точностью до константы, определяющей уровень отсчета. В общем случае, потенциальную энергию можно определить как функцию П (q 1 ,…, q n ) , получаемую
путем преобразования мощности к виду: P = − П & (q 1 ,…, q n ) , где q s – обобщен-
ные координаты.
Пусть тело произвольно движется в пространстве, т.е. оно перемещается вместе с полюсом O со скоростью v O и вращается с угловой скоростью ω .
Мощность пары сил, приложенной к твердому телу, не зависит от скорости полюса. Она равна скалярному произведению момента пары сил и угловой скорости.
|
P = M |
M ω cos(M ,ω |
) = M xω x + M yω y + M zω z , |
где M – момент пары сил, ω – угловая скорость твердого тела, которая, как известно, не зависит от выбора полюса. Мощность диссипативных пар сил отрицательна. Мощность пары сил не зависит от места приложения её к телу. Мощность пары сил трения в подшипнике отрицательная, поскольку момент трения и угловая скорость вращения противонаправлены.
Мощность системы сил, приложенных к твердому телу, равна скалярному произведению главного вектора R системы на скорость любого полюса тела, сложенному со скалярным произведением главного момента M 0 сил относительно этого полюса на угловую скорости тела:
|
v O + M |
O ω |
при R = ∑ F i , M O = ∑ r i × F i . |
5.4. Работа и потенциальная энергия
Элементарной работой силы в выбранной системе координат Oxyz (неподвижной или подвижной) называется бесконечно малая величина, равная скалярному произведению силы на элементарное перемещение точки приложения силы в этой системе:
|
d ′ A = F |
d r = Xdx + Ydy + Zdz = F | d r | cos(F ,d r ), (Н м=Дж) |
Здесь через d ΄A обозначена бесконечно малая работа, совершаемая силой за бесконечно малый интервал времени, d r – элементарное перемещение, сонаправленное со скоростью точки. Штрихом отмечено, что d ΄A не всегда является полным дифференциалом от некоторой функции.
Очевидно, что произведение Pdt равно элементарной работе d ΄A :
Мощность, умноженная на малый интервал времени ∆t , есть приближенное значение работы ∆A силы за этот интервал, мощность приближенно равна работе силы за 1 сек. Работой силы за конечный интервал времени называется определенный интеграл от мощности по времени:
|
A12 = ∫ Pdt = ∫ |
v dt при v = r & = dr / dt . |
|||
Для расчета работы по данной общей формуле необходимо знать мощность как функцию времени или силу и скорость в виде функций только времени t . Но в некоторых частных случаях (случай потенциальной силы, случай постоянной силы трения при неизменном направлении движения) возможно вычисление работы без применения кинематических уравнений движения точки приложения силы, достаточно знать только начальное и конечное положение точки.
Рассмотрим движение точки приложения силы по отношению к двум системам отсчета, движущимся одна относительно другой. Скорость точки в двух системах различна, поэтому и мощность силы будет различной. Таким образом, понятия мощность, работа, формулируется по отношению к конкретной системе отсчета, преимущественно – по отношению к ИСО или ПСО (инерционной или поступательной системам отсчета).
Определение Сила F называется потенциальной , а ее силовое поле –
потенциальным силовым полем , если выполнены два условия:
1) Сила удовлетворяет одному из следующих условий: сила постоянна по величине и направлению F = const или зависит только от координат точки (всех трех или части) ее приложения, т.е. F = F (x , y , z ).
2) Элементарная работа d ′ A силы есть полный дифференциал от некоторой функции координат, либо мощность силы в любой момент времени равна полной производной по времени от некоторой функции Π (x , y , z )
Функция П(x ,y ,z ), получаемая посредством преобразования выражения элементарной работы, либо из выражения мощности, называется по-
тенциальной энергией потенциального силового поля в точке M(x, y, z).
Тем самым векторному силовому полю силы F (x , y , z ) сопоставляется
математически более простое поле скалярной функции трех переменных П(x , y , z ), либо – функции двух переменных П(x ,y ), либо – функции одной переменной П(x )
Потенциальная энергия может быть представлена не только в декартовой системе координат, но также – в цилиндрической, сферической системах координат, в общем она является функцией некоторых обобщенных коорди-
нат П(q 1 , q 2 , q 3 ).
Поверхности, определенные уравнением П(q 1 , q 2 , q 3 )=C, где C – произвольно назначаемый постоянный параметр, называются эквипотенциальными поверхностями .
Заметим, что под знаком дифференциала всегда можно прибавить или вычесть любую константу, так что функция П в формуле (5.18) определяется с точностью до константы. Константу произвольно назначают, например, полагают равной нулю, выбирая тем самым уровень отсчета семейства эквипотенциальных поверхностей.
Мощность потенциальной силы равна взятой со знаком минус произ-
водной по времени от потенциальной энергии P = −Π & . Подставим это выражение в определенный интеграл (5.17). Получим выражение работы потенциальной силы на конечном перемещении точки приложения силы, осуществленном за конечный промежуток времени:
|
A 12 = П(x 1 , y 1 , z 1 ) – П(x 2 , y 2 , z 2 ) = П1 – П2 . |
Таким образом, работа потенциальной силы при ее перемещении за ин-
тервал из точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) в точку M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) по любой траектории равна убыли потенциальной энергии на этом перемещении, т.е. равна разно-
сти потенциальных энергий в первой и второй точках потенциального поля. Работа потенциальной силы не зависит от формы траектории, соединяющей две точки. В частности, работа потенциальной силы на любой замкнутой траектории равна нулю, а работа при переходе точки приложения силы с эквипотенциальной поверхности П=С1 на поверхность П=С2 равна разно-
сти констант: А12 =С1 -С2 .
Частный случай В качестве начальной точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) возьмем любую точку M (x , y , z ) потенциального поля, а в качестве M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) возьмем такую точку поля M (x O , y O , z O ), в которой потенциальная энергия принята равной
Получаем следующую физическую интерпретацию. Потенциальная энергия в любой точке M потенциального поля равна работе приложенной силы при перемещении ее точки приложения из положения M по любой гладкой или негладкой траектории в такое положение, в котором потенциальная энергия принята равной нулю, а также равна взятой со знаком минус работе силы на перемещении в положение M (x ,y ,z ) из “нулевого” положения, в котором потенциальная энергия принята равной нулю.
Пример 1 Найдем потенциальную энергию силы тяжести G = − Gk , про-
тивонаправленной с ортом k вертикальной оси Oz системы Oxyz . Методом элементарной работы получаем:
d ΄A = G x dx + G y dy + G z dz = –Gdz = – d (Gz ) => П = Gz .
Методом мощности получаем
P = G x x & +G y y & +G z z & = −Gz & = −(Gz ) Π = Gz .
Таким образом, потенциальная энергия силы тяжести равна произведению веса материальной точки на высоту расположения точки M над плоскостью Oxy , удовлетворяющей условию z = 0. Здесь плоскость Oxy назначена
нулевой эквопотенциальной плоскостью. Потенциальная энергия силы тяжести отрицательна в точках, расположенных под плоскостью Oxy , при z < 0. На любых горизонтальных плоскостях данная потенциальная энергия одинакова во всех точках, т.е. горизонтальные плоскости являются эквипотенциальными поверхностями. Работа силы тяжести на перемещении с плоскости уровня z = z 1 на плоскость z = z 2 определяется по формуле:
A 12 = П1 – П2 = G (z 1 – z 2 ) = ± Gh при h = |z 1 –z 2 |.
Эта работа пропорциональна разности (убыли) уровней, она отрицательна, если первый уровень ниже, чем второй.
Замечание . В случае если ось Oz направлена вниз, получаем формулу с обратным знаком: П = –Gz .
Пример 2 . Потенциальная энергии силы упругости пружины. Силовое поле горизонтальной пружины имеет вид горизонтальной оси Ox . Начало оси совместим со свободным концом недеформированной пружины, x – деформация растяжения пружины при x > 0, или сжатия пружины при x < 0. Упругая сила пружины F = − cxi , где i – орт оси x . Она всегда направлена противоположно деформации. Методом мощности находим потенциальную энергию силы упругости
|
P = Fx x = − c x x = − (c x |
Π = cx |
||||||
Вообразим, что пружина очень медленно растягивается внешней силой,
медленно нарастающей от нуля до значения F вн = cxi . Считаем, что в каждый момент времени упругая сила пружины уравновешивает внешнию силу.
Среднее значение величины силы F вн на интервале равно: F cр = cx / 2 .
Упругая сила пружины, совершая при этом отрицательную работу по сопротивлению растягиванию, запасает в пружине положительную потенциальную
|
энергию, равную Π = F x = cx 2 / 2. |
||||
|
Работа упругой силы на деформации |
X 2 − x 1 равна A 12 = (x 2 2 – x 1 2 )c /2. |
|||
|
Очевидно, что A 12 < 0 при x1 < x2 и A 12 > 0 при x1 > x2 |
||||
|
3 . Сила тяготения Земли |
по закону “обратных квадратов”: |
|||
|
F = γ m m / r2 , |
= − γ m m r / r 3 , где r – радиус-вектор материальной точки в |
|||
геоцентрической системе отсчета, γ = 6,672· 10–11 (м3 /(кг· с2 ) – постоянная тя-
готения, r / r = e – орт радиус-вектора тела (материальной точки), проведенного из центра Земли, m 1 = 6· 1024 (кг)- масса Земли, m – масса тела, γm 1 =
3986· 1011 (м3 /с2 ) – геоцентрическая гравитационная постоянная. Учитывая
|
тождества r r = r 2 , |
||||||||||||||
|
γ m1 m |
γ m1 m |
γ m1 m |
γ m1 m |
|||||||||||
|
d A = − |
r dr = − |
dr = d (− |
Π(r ) = − |
|||||||||||
|
Отметим, что П(r )→0 при r →∞, следовательно, потенциальная энергия |
||||||||||||||
|
на бесконечности принята равной нулю. |
||||||||||||||
| “ |
Практическая работа на тему: «Работа и мощность при вращательном движении»
Цель работы: закрепить изучение материал по теме, научиться решать задачи.
Ход работы:
Изучить материал по теме.
Записать краткую теорию.
Решить задачи.
Оформить работу.
Ответить на контрольные вопросы.
Написать вывод.
Краткая теория:
Работа постоянной силы, приложенной к вращающемуся телу
Представим себе диск, вращающийся вокруг неподвижной оси под действием постоянной силы F (рис. 6) , точка приложения которой перемещается вместе с диском. Разложим силу F на три взаимно-перпендикулярные составляющие: F 1 – окружная сила, F 2 – осевая сила, F 3 – радиальная сила.
При повороте диска на бесконечно малый угол dφ сила F совершит элементарную работу, которая на основании теоремы о работе равнодействующей будет равна сумме работ составляющих.
Очевидно, что работа составляющих F 2 и F 3 будет равна нулю, так как векторы этих сил перпендикулярны бесконечно малому перемещению ds точки приложения М , поэтому элементарная работа силы F равна работе ее составляющей F 1 :
dW = F 1 ds = F 1 Rdφ .
При повороте диска на конечный угол φ работа силы F равна
W = ∫ F 1 Rdφ = F 1 R ∫ dφ = F 1 Rφ ,
где угол φ выражается в радианах.
Так как моменты составляющих F 2 и F 3 относительно оси z равны нулю, то на основании момент силы F относительно оси z равен:
М z (F) = F 1 R .
Момент силы, приложенной к диску, относительно оси вращения называется вращающим моментом, и, согласно стандарту ИСО , обозначается буквой Т :
Т = М z (F) , следовательно, W = Tφ .
Работа постоянной силы, приложенной к вращающемуся телу, равна произведению вращающего момента на угловое перемещение .
Пример решения задачи
Задача: рабочий вращает рукоятку лебедки силой F = 200 Н , перпендикулярной радиусу вращения.
Найти работу, затраченную в течение времени t = 25 секунд , если длина рукоятки r = 0,4 м , а ее угловая скорость ω = π/3 рад/с .
Решение.
Прежде всего определим угловое перемещение φ рукоятки лебедки за 25 секунд :
φ = ωt = (π/3)×25 = 26,18 рад.
W = Tφ = Frφ = 200×0,4×26,18 ≈ 2100 Дж ≈ 2,1 кДж .
Мощность силы, приложенной к равномерно вращающемуся телу, равна произведению вращающего момента на угловую скорость .
Если работа совершается силой, приложенной к равномерно вращающемуся телу, то мощность в этом случае может быть определена по формуле:
P = W/t = Tφ/t или P = Tω .
Вариант №1
На двух шнурах одинаковой длины, равной 0,8 м, подвешены два свинцовых шара массами 0,5 и 1 кг. Шары соприкасается между собой. Шар меньшей массы отвели в сторону так, что шнур отклонился на угол α= 60°, и отпустили. На какую высоту поднимутся оба шара после столкновения? Удар считать центральным и неупругим. Определить энергию, израсходованную на деформацию шаров при ударе.
Маховик массой 4 кг свободно вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр, с частотой 720 мин-1. Массу маховика можно считать распределенной по его ободу радиусом 40 см. Через 30 с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое делает маховик до полной остановки.
Тело массой m=1,0 кг падает с высоты h=20 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести на пути h, и мгновенную мощность на высоте h/2.
Вариант №2
Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением, где А = 2 рад, В = 32 рад/с, С = -4 рад/с2. Найти среднюю мощность N , развиваемую силами, действующими на маховик при его вращении, до остановки, если момент инерции I = 100 кг·м 2 .
Тело массы m вращается на горизонтальной поверхности по окружности радиуса r=100мм. Найти работу силы трения при повороте тела на угол α=30. Коэффициент трения между телом и поверхностью равен k=0,2.
Первый шар массой m1 = 2 кг движется со скоростью, величина которой v1 = 3 м/с. Второй шар массой m2 = 8 кг движется со скоростью, величина которой v2 = 1 м/с. Найти скорость v 1 первого шара и скорость v 2 второго шара сразу после удара, если: а) шары движутся навстречу друг другу; б) первый шар догоняет второй. Удар считать центральным и абсолютно упругим.
Рассмотрим формулы для определения работы и мощности силы, приложенной в какой-либо точке твердого тела, совершающего поступательное или вращательное движение.
1. Работа и мощность силы, приложенной к твердому телу, совершающему поступательное движение.
Рассмотрим твердое тело, совершающее поступательное движение по отношению к инерциальной системе отсчета под действием силы , приложенной в произвольной точке (рис. 24).
В случае поступательного движения твердого тела все его точки движутся со скоростями одинаковыми по величине и направлению. Обозначим скорость тела .
Используя формулу (4.31), получим
где – дифференциал радиус-вектора произвольной точки твердого тела .
Рис. 24. Поступательное движение твердого тела под действием силы
Поделив (4.49) на dt , получим выражение для определения мощности силы, действующей на тело, совершающее поступательное движение:
где – угол между векторами силы скорости .
То есть мощность силы при поступательном движении твердого тела определяется как скалярное произведение вектора силы на вектор скорости твердого тела .
Интегрируя (4.49) на каком-либо конечном перемещении точки M из начального положения М 0 в положение М 1 , получим полную работу силы, действующей на тело на этом перемещении
2. Работа и мощность силы, приложенной к твердому телу, совершающему вращательное движение.
Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной вертикальной оси Oz под действием силы , приложенной в произвольной точке этого тела М (рис. 25).
Рис. 25. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Положение точки М в осях Oxyz определяется радиус-вектором . Скорость точки М направлена по касательной к траектории движения (окружность с центром на оси вращения). Вектор этой скорости можно определить по векторной формуле Эйлера, известной из курса кинематики твердого тела
где – вектор угловой скорости вращения твердого тела.
Используя формулу (4.32), получим
Меняя в круговом порядке сомножители в смешанном векторном произведении, получим
где – векторный момент силы , относительно центра O .
Угол между векторами момента и угловой скорости .
Учитывая, что:
1. – момент силы , относительно оси вращения Oz.
2. и следовательно ,
окончательно получим
Таким образом, элементарная работа силы, приложенной в какой-либо точке твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна произведению момента этой силы относительно оси вращения на дифференциал угла поворота тела.
Для определения полной работы силы при повороте тела на угол φ, проинтегрировав выражение (4.53), получим
В случае когда , полную работу можно определить по формуле
где φ – угол поворота тела, на котором определяют работу силы.
Если направление момента и угловой скорости совпадают, то работа силы считается положительной, в противном случае – отрицательной.
Определим мощность силы при вращении твердого тела вокруг оси. Используя формулу (4.40), получим
То есть мощность силы, приложенной к вращающемуся твердому телу, определяется как произведение момента силы относительно оси вращения на угловую скорость тела . Знак мощности определяется аналогично знаку работы.
Просмотр: эта статья прочитана 49920 раз
Pdf Выберите язык… Русский Украинский Английский
Краткий обзор
Полностью материал скачивается выше, предварительно выбрав язык
Два случая преобразования механического движения материальной точки или системы точек:
- механическое движение переносится с одной механической системы на другую в качестве механического движения;
- механическое движение превращается в другую форму движения материи (в форму потенциальной энергии, теплоту, электричество и т.д.).
Когда рассматривается преобразование механического движения без перехода его в другую форму движения, мерой механического движения является вектор количества движения материальной точки или механической системы. Мерой действия силы в этом случае является вектор импульса силы.
Когда механическое движение превращается в другую форму движения материи, в качестве меры механического движения выступает кинетическая энергия материальной точки или механической системы. Мерой действия силы при превращении механического движения в другую форму движения является работа силы
Кинетическая энергия
Кинетическая энергия это способность тела преодолевать препятствование во время движения.
Кинетическая энергия материальной точки
Кинетической энергией материальной точки называется скалярная величина, которая равняется половине произведения массы точки на квадрат ее скорости.
Кинетическая энергия:
- характеризует и поступательное, и вращательное движения;
- не зависит от направления движения точек системы и не характеризует изменение этих направлений;
- характеризует действие и внутренних, и внешних сил.
Кинетическая энергия механической системы
Кинетическая энергия системы равняется сумме кинетических энергий тел системы. Кинетическая энергия зависит от вида движения тел системы.
Определение кинетической энергии твердого тела при разных видах движения движениях.
Кинетическая энергия поступательного движения
При поступательном движении кинетическая энергия тела равна Т =m V 2 /2.
Мерой инертности тела при поступательном движении является масса.
Кинетическая энергия вращательного движения тела
При вращательном движении тела кинетическая энергия равняется половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения и квадрата его угловой скорости.
Мерой инертности тела при вращательном движении является момент инерции.
Кинетическая энергия тела не зависит от направления вращения тела.
Кинетическая энергия плоскопаралельного движения тела
При плоскопаралельном движении тела кинетическая энергия равна
Работа силы
Работа силы характеризует действие силы на тело при некотором перемещении и определяет изменение модуля скорости подвижной точки.
Элементарная работа силы
Элементарная работа силы определяется как скалярная величина, равная произведению проекции силы на касательную к траектории, направленную в направлении движения точки, и бесконечно малого перемещения точки, направленного вдоль этой касательной.
Работа силы на конечном перемещении
Работа силы на конечном перемещении равна сумме ее работ на элементарных участках.
Работа силы на конечном перемещении М 1 М 0 равняется интегралу вдоль этого перемещения от элементарной работы.
Работа силы на перемещении М 1 М 2 изображается площадью фигуры, ограниченной осью абсцисс, кривой и ординатами, соответствующими точкам М 1 и М 0 .
Единица измерения работы силы и кинетической энергии в системе СИ 1 (Дж).
Теоремы о работе силы
Теорема 1 . Работа равнодействующей силы на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении.
Теорема 2. Работа постоянной силы на результирующем перемещении равна алгебраической сумме работ этой силы на составляющих перемещениях.
Мощность
Мощность – это величина, которая определяет работу силы за единицу времени.
Единицей измерения мощности есть 1Вт = 1 Дж/с.
Случаи определения работы сил
Работа внутренних сил
Сумма работ внутренних сил твердого тела на любом его перемещении равна нулю.
Работа силы тяжести
Работа силы упругости
Работа силы трения
Работа сил, приложенных к вращающемуся телу
Элементарная работа сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна произведению главного момента внешних сил относительно оси вращения на приращение угла поворота.
Сопротивление качению
В зоне контакта неподвижого цилиндра и плоскости возникает местная деформация контактного сжатия, напряжение распределяются по эллиптическому закону и линия действия равнодействующей N этих напряжений совпадает с линией действия силы нагрузки на цилиндр Q. При перекатывании цилиндра распределение нагрузки становится несимметричным с максимумом, смещенным в сторону движения. Равнодействующая N смещается на величину k – плечо силы трения качения, которая еще назвается коэффициентом трения качения и имеет размерность длины (см)
Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки
Изменение кинетической энергии материальной точки на некотором ее перемещении равняется алгебраической сумме робот всех действующих на точку сил на том же перемещении.
Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
Изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равняется алгебраической сумме робот внутренних и внешних сил, действующих на материальные точки системы на том же перемещении.
Теорема об изменении кинетической энергии твердого тела
Изменение кинетической энергии твердого тела (неизменной системы) на некотором перемещении равняется сумме робот внешних сил, действующих на точки системы на том же перемещении.
КПД
Силы, действующие в механизмах
Силы и пары сил (моменты), которые приложены к механизму или машине, можно разделить на группы:
1.Движущие силы и моменты, совершающие положительную работу (приложенные к ведущим звеньям, например, давление газа на поршень в ДВС).
2. Силы и моменты сопротивления, совершающие отрицательную работу:
- полезного сопротивления (совершают требуемую от машины работу и приложены к ведомым звеньям, например сопротивление поднимаемого машиной груза),
- силы сопротивления (например, силы трения, сопротивление воздуха и т.п.).
3. Силы тяжести и силы упругости пружин (как положительная, так и отрицательная работа, при этом работа за полный цикл равна нулю).
4. Силы и моменты, приложенные к корпусу или стойке извне (реакция фундамента и т.п.), которые не совершают работу.
5. Силы взаимодействия между звеньями, действующие в кинематических парах.
6. Силы инерции звеньев, обусловленные массой и движением звеньев с ускорением, могут осуществлять положительную, отрицательную работу и не совершать работы.
Работа сил в механизмах
При установившемся режиме работы машины ее кинетическая энергия не изменяется и сумма работ приложенных к ней движущих сил и сил сопротивления равна нулю.
Работа, затрачиваемая на приведение машины в движение, расходуется на преодоление полезных и вредных сопротивлений.
КПД механизмов
Механический коэффициент полезного действия при установившемся движении равен отношению полезной работы машины к работе, затраченной на приведение машины в движение:
Элементы машины могут соединяться последовательно, параллельно и смешанно.
КПД при последовательном соединении
При последовательном соединении механизмов общий КПД меньше с наименьшего КПД отдельного механизма.
КПД при параллельном соединении
При параллельном соединении механизмов общий КПД больше наименьшего и меньше наибольшего КПД отдельного механизма.
Формат: pdf
Язык: русский, украинский
Пример расчета прямозубой цилиндрической передачи
Пример расчета прямозубой цилиндрической передачи. Выполнен выбор материала, расчет допускаемых напряжений, расчет на контактную и изгибную прочность.
Пример решения задачи на изгиб балки
В примере построены эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, найдено опасное сечение и подобран двутавр. В задаче проанализировано построение эпюр с помощью дифференциальных зависимостей, провелен сравнительный анализ различных поперечных сечений балки.
Пример решения задачи на кручение вала
Задача состоит в проверке прочности стального вала при заданном диаметре, материале и допускаемых напряжениях. В ходе решения строятся эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания. Собственный вес вала не учитывается
Пример решения задачи на растяжение-сжатие стержня
Задача состоит в проверке прочности стального стержня при заданных допускаемых напряжениях. В ходе решения строятся эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений. Собственный вес стержня не учитывается
Применение теоремы о сохранении кинетической энергии
Пример решения задачи на применение теоремы о сохранение кинетической энергии механической системы
Работа силы на бесконечно малом перемещении , называемая элементарной работой, выражается формулой
где – угол между силой F и скоростью v точки ее приложения (рис. 171), или в виде скалярного произведения:
где – дифференциал радиуса-вектора точки приложения силы.
Выражая это скалярное произведение через проекции векторов F и на координатные оси, получаем аналитическое выражение элементарной работы:
где X, Y, Z – проекции силы на координатные оси, – бесконечно малые изменения (дифференциалы) координат точки приложения силы при элементарном перемещении этой точки.
Если сила F приложена к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси z, то
где – элементарный угол поворота тела вокруг оси.
Если к телу, имеющему неподвижную ось вращения приложена пара сил с моментом , то элементарная работа этой пары выражается следующим образом:
где – проекция вектора – момента пары на ось .
Особый интерес представляет случай, когда сила является функцией координат точки и, кроме того,
В этом случае существует такая функция координат , частные производные которой по координатам равны проекциям силы на соответствующие координатные оси, т. е.
Такая функция называется силовой, или потенциальной, функцией. Таким образом, если существует силовая функция, то
т. е. элементарная работа силы равна полному дифференциалу силовой функции. Ограниченная или неограниченная часть пространства, где проявляется действие силы, имеющей силовую функцию, называется силовым потенциальным полем.
Геометрическое место точек силового потенциального поля, в которых силовая функция сохраняет постоянное значение, называется эквипотенциальной поверхностью, или поверхностью уровня.
Работа А силы F на конечном пути определяется как предел суммы элементарных работ и выражается в виде криволинейного интеграла, взятого вдоль дуги траектории от точки до точки М:
Если произведение а выражается известной функцией дуговой координаты s точки приложения силы, то переменной интегрирования является эта величина s и формула для вычисления работы принимает вид
(168)
где – значения дуговой координаты, соответствующие положениям и М точки приложения силы, – проекция силы на касательную к траектории этой точки.
Если постоянная по модулю сила образует с прямой, по которой движется ее точка приложения, постоянный угол , то
В частном случае, когда точка М движется по прямой под действием постоянной силы F, направленной по той же прямой в сторону движения или против движения, то соответственно имеем:
где – путь пройденный точкой.
Если при вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси момент приложенной к нему силы является функцией угла поворота тела, т. е.
Аналогично определяется работа пары сил:
Работа силы, имеющей потенциальную функцию, на конечном перемещении выражается разностью значений этой функции в конечной и начальной точках пути:
т. е. в этом случае работа силы не зависит от кривой, по которой перемещается точка М, а зависит лишь от начального и конечного ее положений. При изучении движения материальной точки в силовом потенциальном поле весьма большое значение имеет понятие потенциальной энергии. Потенциальная энергия материальной точки представляет собой особый вид энергии, которым обладает точка, находящаяся в силовом потенциальном поле. Потенциальная энергия П равна работе, которую совершила бы сила поля при перемещении точки ее приложения из данного положения М(х, у, z) в положение , принятое за нулевое, т. е.
Работа силы на конечном пути через потенциальную энергию выражается так:
Если на точку действует несколько сил, то работа равнодействующей этих сил на каком-либо пути равна сумме работ составляющих сил на том же пути.
В технической системе единиц работа измеряется в килограмм-метрах . В Международной системе единиц единицей работы является 1 джоуль .
Мощность N характеризует быстроту, с которой совершается работа, и в общем случае определяется как производная от работы по времени:
т. е. мощность равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости.
Если работа А производится равномерно, то мощность определяется так:
где – время, в течение которого произведена работа.
Таким образом, в этом частном случае мощность численно равна работе, производимой в единицу времени.
При вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси :
где – главный момент приложенных к телу сил относительно оси вращения, – угловая скорость тела.
В технической системе единиц мощность измеряется в или в лошадиных силах, причем
В Международной системе единиц единицей мощности является
При решении задач на вычисление работы и мощности часто используют коэффициент полезного действия. Коэффициентом полезного действия называется отношение полезной работы или мощности к работе или мощности движущих сил:
Так как вследствие вредных сопротивлений , то .
При вычислении работы нужно различать следующие случаи.
1. Прямолинейное движение под действием постоянной по модулю и направлению силы, в задачах такого типа применяются формулы (169) и (170) (задачи 756, 762).
2. Прямолинейное движение под действием силы, проекция которой на направление прямолинейной траектории является функцией расстояния точки от некоторого неподвижного центра на этой прямой (задача № 768), в задачах этого типа применяется формула (167), которая, если направить ось по траектории точки, принимает вид
3. Криволинейное движение под действием постоянной по модулю и направлению силы, в этом случав можно использовать формулу (167).
4. Криволинейное движение под действием силы, которая является функцией координат точки приложения силы.
Здесь определение работы сводится к вычислению криволинейного интеграла по формуле (167). Если в рассматриваемом случае существует силовая функция, то работу определяют по формуле (173) или (176).
5. Вращательное движение твердого тела под действием постоянного момента или момента, являющегося функцией угла поворота тела; в этом случае для вычисления работы применяется формула (171).
Для вычисления мощности в зависимости от характера движения пользуемся формулой (177) при прямолинейном или криволинейном движении точки приложения силы (задачи 760, 764), или формулой (179) – в случае вращательного движения твердого тела (задачи 771, 772, 765). Среднюю мощность можно определять по формуле (178).
Пример 131. Вдоль тяги, при помощи которой тянут вагончик по горизонтальному пути, действует постоянная сила (рис. 172). Тяга образует с горизонтом угол . Определить работу, совершенную силой F на пути .
Решение. Здесь работу определяем по формуле (169):
Пример 132. Тело весом передвигают по горизонтальному полу при помощи горизонтальной силы на расстояние . Определить работу, которую совершит при этом сила трения, если коэффициент трения между поверхностью тела и полом .
Решение. Согласно закону Кулона, сила трения , где N – нормальное давление тела на поверхность пола, причем в данном случае . Так как сила трения направлена в сторону, противоположную движению, то работа этой силы отрицательна:
Пример 133. Найти работу силы тяжести при перемещении материальной точки из положения в положение М (х, у, z), а также вычислить потенциальную энергию точки в положении М (рис. 173).
Решение. Направляя ось z вертикально вверх, имеем:
где – вес тела. Следовательно, по формуле (162)
(182)
т. е. работа силы тяжести равна произведению веса материальной точки на разность ее высот в начальном и конечном положениях, причем эти высоты отсчитываются от произвольно выбранной горизонтальной плоскости.
Потенциальную энергию точки определим на основании формулы (175):
где С – произвольная постоянная интегрирования.
Пример 134. Определить работу силы упругости растянутого стержня, к концу которого подвешен груз М, при перемещении этого груза из положения в положение М, если длина недеформированного стержня равна вычислить также потенциальную энергию точки в положении М (рис. 174).
Решение. Обозначив силу упругости F и направив ось х по вертикали вниз, имеем:
где х – удлинение стержня, с – его жесткость.
Следовательно,
Пример 135. На материальную точку действует сила, проекции которой на координатные оси выражаются так:
Определить работу этой силы при перемещении точки из положения в положение , если сила выражена в н, а координаты – в см.
Решение. Выясним прежде всего, существует ли в данном случае силовая функция: для этого находим частные производные:
Отсюда получаем, что
т. е. условия (164) выполняются, и силовая функция существует. Полный дифференциал этой функции равен элементарной работе, т. е. . Элементарную работу находим по формуле или, подставляя значения :
Это выражение действительно является полным дифференциалом
Значения функции в точках и М равны:
Следовательно, искомая работа равна
Пример 136. Определить работу центральной силы, модуль которой является функцией расстояния материальной точки от центра этой силы, т. е. (рис. 175).
Решение. В данном случае единичный вектор силы равен
Причем знак выбирается в зависимости от того,отталкивается от центра силы или притягивается к нему точка М.
Таким образом, вектор силы F выразится так:
Отсюда, пользуясь формулой (161), имеем:
Следовательно,
т. е. элементарная работа является полным дифференциалом и, значит, существует силовая функция, причем
Итак, в данном случае имеем общую формулу, по которой сразу можем определить силовую функцию в зависимости от радиуса-вектора точки приложения силы, а затем вычислить работу силы при перемещении этой точки из положения в положение
Пример 137. Один конец пружины закреплен шарнирно в точке О, а к другому концу ее прикреплен шарик Длина нерастянутой пружины – , жесткость . Шарик перемещают из положения в положение , причем пружина растянута и не изгибается. Определить работу силы упругости пружины, если
Решение. Модуль силы упругости пружины в данном случае выражается так.