Кольца. Поля. Идеалы и гомоморфизмы колец. Подполя, подкольца, идеалы Кольца. Подкольца и идеалы колец

Аналогами подгрупп в группах являются подкольца и подполя в кольцах и полях.

Определение 2.9. Подмножество Я кольца К (поля Р) называется подкольцом (соответственно подполем), если оно само является кольцом (полем) относительно сужения на Я операций сложения и умножения, определенных в К (соответственно в Р).

Подкольцо (подполе) называется собственным, если оно не совпадает с самим кольцом (полем).

Используя критерий подгруппы, получаем критерии подкольца и подполя.

Теорема 2.1 (критерий подкольца). Подмножество Я кольца К является подкольцом тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

• 1) подмножество Я замкнуто относительно операций сложения и умножения, т.е. если а, b е Я, то а + b е Я и а? Ъ е Я;
• 2) Я содержит нуль данного кольца К ;
• 3) если а е Н,то противоположный элемент -а е Я.

Теорема 2.2 (критерий подполя). Подмножество Р поля

F является подполем тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

• 1) подмножество Р замкнуто относительно операций сложения и умножения: если a, b е Р, то а + b е Р и а? b е Р;
• 2) Р содержит нуль и единицу данного поля F ;
• 3) если а е Р, то противоположный элемент -а е Р, и если а ^ 0, то а- 1 е Р.

• 1. Кольцо целых чисел Z является подкольцом кольца (поля) рациональных чисел Q. Поле Q является подполем поля действительных чисел М, а оно в свою очередь является подполем поля комплексных чисел С.
• 2. Кольцо К = {а + Ь%/3 | a, b е Z} содержит подкольцо Z, а поле Р = {а + bj 3 | a, b е Q} содержит подполе Q.

Упражнение 2.6. Есть ли в поле Р-{а + Ь>/з | a, b е Q} другие подполя, кроме Q?

Легко доказать, что пересечение двух и более подколец (подполей) является подкольцом (соответственно подполем). «Самым большим» подкольцом (подполем) является само кольцо (поле). «Самым маленьким» подкольцом является нулевое подкольцо, состоящее из одного нулевого элемента данного кольца. Вид «самого маленького» подполя будет выяснен позже. Числовым кольцом (полем) называется всякое подкольцо (подполе) поля комплексных чисел.

В кольце целых чисел подкольцо четных целых чисел 2Z = {2п | п е Z} замкнуто не только относительно сложения, но и относительно умножения на любое целое число. Рассмотрим в произвольном кольце подмножества с такими же свойствами.

Определение 2.10. Подкольцо Я кольца К называется идеалом, если оно замкнуто относительно умножения на любой элемент из К, т.е. для любого хе Ни любого к е К произведения кх, хк ? Я.

Определение 2.11. Пусть дано коммутативное кольцо К и а ь а 2 , …, а п е К. Подмножество {к 1 а 1 + к 2 а 2 + … + к п а п k v к 2 , …, к п ? К} является, очевидно, идеалом в К, который называется идеалом, порожденным элементами а ь а 2 , …, а п, и обозначается (а 1; а 2 , …, а п). В частности, идеал (а) = {ка к ? К} называется главным.

Рассмотрим примеры.

• 1. В произвольном кольце нулевое подкольцо есть нулевой идеал: (0) = {0}. Само кольцо К также является идеалом. Если кольцо К содержит единицу 1, то К – (1), поскольку из единицы «можно сделать» любой элемент кольца: а = а-1. Этот идеал называется единичным.
• 2. Докажем, что всякий идеал поля либо нулевой, либо единичный.

Пусть Я-идеал поля Р и 0 Ф а е Я. Тогда существует элемент а -1 и ввиду замкнутости Я относительно умножения на любой элемент поля Р имеем е = а? а -1 е Я. Но тогда для любого х е Р получаем х-х-ее Я. Следовательно, Я = Р.

Заметим, что всякий идеал в кольце является подкольцом. Обратное неверно. Например, кольцо целых чисел в поле рациональных чисел является подкольцом, но не идеалом.

Легко доказать, что пересечение двух идеалов есть идеал.

Идеал кольца – это в некотором смысле «идеальное подкольцо», т.е. такое подкольцо, которое замкнуто относительно умножения на любой элемент кольца. Ниже мы покажем, что идеалы в кольцах играют ту же роль, что и нормальные подгруппы в группах.

Контрольные вопросы

• 1. Может ли поле содержать подмножество, являющееся кольцом, но не полем?
• 2. Может ли кольцо содержать подмножество, которое является полем?
• 3. Содержит ли поле комплексных чисел конечные подполя?
• 4. Содержится ли поле Z 3 в поле Z 5 ?
• 5. Содержится ли кольцо Z 9 в кольце Z 10 ?

Задачи

• 1. Для множеств, указанных в задачах к параграфу 2.1, являющихся кольцами и полями, найдите в них примеры подколец, подполей и идеалов.
• 2. Перечислите все идеалы в кольцах Z 5 и Z 6 .
• 3. Докажите, что пересечение двух подколец есть подкольцо, пересечение двух подполей есть подполе и пересечение двух идеалов есть идеал.
• 4. В кольцах многочленов Z [х] и Q [х] найдите подкольца, которые не являются идеалами.
• 5. В поле комплексных чисел найдите все подполя, содержащие поле действительных чисел.
• 6. В поле Р = {а + Ъф2 a, b е Q} найдите все подполя, содержащие Q.

личество сомножителей.

Пример 2.23. «Игра в пятнадцать»: на квадратной доске, разделенной на 16 полей, размещены 15 фишек, пронумерованных от 1 до 15 и занимающих целиком соответствующее поле. Двигая фишки по горизонтали и вертикали с использованием свободного поля, требуется привести доску в состояние (1) (рис. 2).

Рисунок 2

Можно показать, что задача разрешима тогда и только тогда, когда под-

становка f

K 15

Возможно ли привести положение на

доске (рис. 3) в состояние (1)?

Рисунок 3

K 15

= (12 )(3 )(4 )K (15 )= (12 ),

подстановка

K 15

четная. Следовательно, задача, за которую почти 130 лет тому назад предлагали большой денежный приз, не имеет решения.

Понятие группы считается основополагающим в математике XX века. Группы широко применяются в физике (от кристаллографии до теории элементарных частиц), химии, биологии, теории информации. Новейшие методы защиты информации от несанкционированного доступа называют групповыми, так как они базируются на понятии группы. Ярким примером является криптосистема RSA, предложенная в 1977 г. американскими исследователями Ривер-

стом, Шамиром и Адлеманом (Riverst R.L., Shamir A., Adleman L.). Суть ее в следующем.

Находятся два больших простых числа (60-70 десятичных знаков) p и g . Вычисляется их произведение n = p g . Тогда (свойства 3, 1 функции Эйлера)

ϕ (n ) = ϕ (p g ) = ϕ (p ) ϕ (p ) = (p − 1 ) (g − 1 ) . Фиксируется натуральное число e , 0 < e < n , НОД (e , ϕ (n )) = 1 . Пара (e , n ) называется открытым ключом. Переда-

ваемая информация переводится в цифровую форму (в первоисточнике буквы латинского алфавита заменяются двузначными числами: “a “= 01, “b “= 02 и так

числом m ≡ c e (mod n ) . Таким образом, m есть e -я степень числа с в кольце Z/nZ. Адресат получает сообщение m . Он, как и все, знает величины n и e . Он

шифровать m адресат должен возвести m в d -ю степень по модулю n . Это простая задача.

Перехватчик, чтобы расшифровать сообщение m , должен разложить n на множители: n = pq . Тогда вычисляется ϕ (n ) и d легко находится по открытому

ключу e . Именно разложение ключа n на множители и составляет основную сложность предлагаемой криптосистемы. Как было отмечено в первом разделе, разложение натурального числа на множители является, по всей видимости, экспоненциальной относительно n задачей, эквивалентной перебору всех возможных кандидатов на делители.

Чтобы продемонстрировать стойкость своей криптосистемы, изобретатели зашифровали свое сообщение, используя в качестве n – 129-значное число и в качестве e – 4-значное число. Их сообщение m было 128-значным числом. Всемирно известный американский специалист по головоломкам М. Гарднер опубликовал этот криптотекст в журнале «Scientific American» в августе 1977 г., предложив 1000 долларов тому, кто его расшифрует. Текст был расшифрован лишь в апреле 1994 г. 129-значное число n было разложено на 64- и 65-значные множители p и q . Непосредственная факторизация числа n заняла полтора года вычислений. После этого расшифровка сообщения не составила труда.

2.9. Кольца. Подкольца и идеалы колец

Определение 2.18. Кольцом называется непустое множество K с двумя бинарными алгебраическими операциями сложения (+) и умножения (); относительно операции сложения K является абелевой группой, а умножение и сложение связаны законами дистрибутивности:

(a + b ) c = a c + b c ; a (b + c ) = ab + ac для произвольных a, b, c K .

Пример 2.24. (Z , +,) – кольцо целых чисел.

Пример 2.25. (Z /nZ , +,) – кольцо классов вычетов по модулю n > 1. Пример 2.26. Множество всех квадратных матриц данного порядка n с

рациональными, вещественными или же комплексными коэффициентами относительно операций матричного сложения и умножения. Общепринятые обозначения этих колец: M n (Q ) , M n (R ) , M n (C ) соответственно.

Многообразие колец чрезвычайно широко. По числу элементов кольца делятся на конечные (пример 2.25) и бесконечные (примеры 2.24, 2.26). Основная классификация колец ведется по свойствам умножения.

Определение 2.19. Кольцо K называется ассоциативным кольцом, если

определенная на нем операция умножения обладает свойством: (ab) c = a(bc) для произвольных a, b, c K .

Кольцо K называется кольцом с единицей, если оно ассоциативно и имеет нейтральный элемент относительно операции умножения.

Кольцо K называется коммутативным, если ba = ab для произвольных a, b K .

Теорема 2.16. Пусть K – ассоциативное кольцо с единицей. Множество K* обратимых относительно умножения элементов кольца K есть группа (ее называют мультипликативной группой кольца K).

Пример 2.27. Легко видеть, что в кольце целых чисел обратимы относительно умножения только два числа: 1 и –1. Следовательно, Z * = { 1,− 1} .

Пример 2.28. M n (R ) * = GL n (R ) .

Пример 2.29. Мультипликативная группа (Z /nZ )* кольца классов вычетов Z /nZ по модулю n состоит из ϕ (n ) классов, порожденных целыми числами, взаимно простыми с модулем.

Определение 2.20. Если в кольце K с единицей мультипликативная группа K* = K \ { 0 } , то кольцо K называют телом или алгеброй с делением. Ком-

мутативное тело называют полем.

Пример 2.30. Следующие кольца являются полями: а) Q – кольцо рациональных чисел;

б) R – кольцо вещественных чисел;

в) C – кольцо комплексных чисел;

г) Z /pZ – кольцо классов вычетов по простому модулю p .

Определение 2.21. Подкольцо кольца K – это подгруппа аддитивной группы (K, +) , в свою очередь являющаяся кольцом, то есть замкнутая относительно операции умножения в кольце K.

Пример 2.31. (nZ , +,) – подкольцо кольца Z целых чисел; Z – подкольцо кольца Q рациональных чисел; Q – подкольцо кольца R вещественных чисел. Первое из них – это кольцо без единицы, хотя само кольцо Z с единицей.

Подкольца, в общем случае, практически не наследуют свойства колец. Поэтому в теории колец наибольшее значение имеют подкольца специального вида – идеалы.

Определение 2.22. Подкольцо J кольца K называется левым идеалом кольца K, если для любого k K и для каждого j J произведение jk J , то

есть Jk J . Если же kJ J для всех элементов k K , то J называют правым идеалом. Двусторонний идеал – идеал, являющийся одновременно и левым и правым идеалом.

Ясно, что в коммутативном кольце все идеалы двусторонние.

Пример 2.32. mZ = { mg | g Z } – двусторонний идеал кольца целых чи-

сел Z для всякого натурального m . Очевидно, mZ ≠ Z , если m > 1. Ясно, что

2 z > 4 z > 8 z > 16 z >K ; 2 z > 6 z > 12 z >K .

Пример 2.33. В кольце Z /nZ с составным модулем n = pq , p > 1, q > 1, легко видеть, что множество классов вычетов { p , 2 p ,K , (q- 1 ) p ,0} замкнуто от-

носительно операций сложения и умножения классов вычетов и, следовательно, образует подкольцо. Обозначим его через J p . Легко видеть, что J p – идеал.

Аналогично идеалом является множество J q = { q , 2q ,K ,(p − 1) q ,0} .

Пример 2.34. В любом кольце K множество {0} и K формально также являются идеалами кольца K . Их называют несобственными, или тривиальными, в отличие от остальных – собственных идеалов.

Теорема 2.17. 1. Пересечение идеалов данного кольца K есть идеал этого же кольца.

J 1 , J 2 кольца K есть левый (правый) идеал этого же кольца.

4. Для каждого элемента a кольца K множество aK = { ak | k K} есть левый идеал кольца K.

5. Если в кольце K с единицей элемент a K * , то a = K ; если же a K * , то a – собственный идеал кольца K.

6. Если K – коммутативное кольцо и a = bc для необратимых элементов a, b, c K , то ac, ab .

Доказательство состоит в прямой проверке всех аксиом идеалов.

Определение 2.23. Левым главным идеалом a кольца K, порожденным

элементом a K , называется идеал из 4-го пункта теоремы 2.17, то есть подкольцо кольца K, состоящее из всех элементов ak, k K . Правый главный

идеал a состоит из всех элементов ka, k K .

Теорема 2.18. В кольце целых чисел Z – всякий идеал J – главный.

На множестве идеалов каждого кольца существует отношение частичного порядка по включению их друг в друга как множеств. Особую роль играют максимальные идеалы.

Определение 2.24. Идеал M (левый, правый, двусторонний) кольца K называется максимальным, если в K не существует собственного идеала J с условием M J .

Теорема 2.19. В кольце целых чисел идеал J максимален тогда и только тогда, когда существует простое число p, такое, что J = p.

2.10. Делимость в кольце многочленов

Пусть P – поле, то есть произвольное коммутативное кольцо с единицей, у которого все элементы, отличные от нуля, обратимы, иными словами,

Пусть P [ x ] – кольцо многочленов с коэффициентами из P с обычными

операциями сложения и умножения многочленов. По своим свойствам многочлены близки к целым числам. Например, как и для целых чисел имеет место

Теорема 2.20 (о делении с остатком). Для любых двух многочленов f (x ) и g (x ) ≠ 0 из кольца P [ x ] существуют единственные многочлены q (x )

и r (x ) , такие, что f (x ) = g (x ) q (x ) + r (x ) , причем r (x ) = 0 или степень r (x ) меньше степени g (x ) .

Определение 2.25. В условиях теоремы 2.20 многочлен q (x ) называется частным, а многочлен r(x) – остатком от деления f (x ) на g (x ) . Если r(x) = 0 , то говорят, что f (x ) делится на g (x ) , а g (x ) и q (x ) называют делителями или множителями многочлена f (x ) .

Если в равенстве f (x ) = g (x ) q (x ) степени сомножителей не меньше 1, то q (x ) и g (x ) называют нетривиальными делителями многочлена f (x ) .

Очевидно, каждый ненулевой элемент поля P является делителем любого многочлена из кольца P [ x ] . Поэтому элементы полей называют тривиальными делителями многочленов.

Теорема 2.21. Обратимыми многочленами в кольце многочленов P [ x ]

являются многочлены нулевой степени, отличные от нуля, и только они, то есть P [ x ] * = P * .

Определение 2.26. Наибольшим общим делителем многочленов f 1 (x ) , f 2 (x ) , K , f 5 (x ) называется их общий делитель со старшим коэффициен-

том 1 , который делится на любой другой общий делитель. Его обозначают

НОД(f1 (x) , f2 (x) , K , fs (x)) .

Алгоритм Евклида нахождения НОД , рассмотренный ранее в разделе 1

для целых чисел, справедлив и для многочленов.
Теорема 2.22. Наибольший общий делитель многочленов f (x ) и g (x ) из
кольца P[ x] (с точностью до множителей из поля P) совпадает с последним
отличным от нуля остатком r n (x ) следующей цепочки равенств:
{ f (x) = g(x) q1	(x )+ r 1	(x );
{ g(x) = r (x) q			(x )+ r		(x );
{ r (x) = r	(x )q				R (x) ;
{ KKKKKKKKKKK
	(x )= r		(x )q		(x )+ r (x );
n− 2		n− 1
{r n − (x )= r n (x )q n + 1 (x ).
Пример 2.35. Найти при помощи алгоритма Евклида наибольший общий

делитель многочленов f (x ) = 2 x 4 + 5 x 3 − 8 x 2 − 17 x − 6 и g (x ) = x 3 + 4 x 2 − x − 4 в кольце Q [ x ] .

Решение. Последовательным делением «уголком» получаем следующую цепочку равенств алгоритма Евклида:

f (x) = g(x) q	(x ) + r (x ) , где	q (x) = 2 x − 3, r (x) = 6 x2	− 12x − 18 ,
g(x) = r	(x )q		(x ) r 2 (x )q 3 (x )+ r 3 (x ), где q 3 (x )= 7 3 (x − 3 ), то есть r 1 (x )= 6 (x + 1 )(x − 3 ). Согласно теореме 2.22 наибольший общий делитель по алгоритму Евклида получается с точностью до константы. Таким образом, НОД(f (x) , g(x)) = x + 1 . Определение 2.27. Многочлены f (x ) и g (x ) называют взаимно просты- ми, если их наибольший общий делитель равен 1. Обратной прогонкой алгоритма Евклида (аналогично целым числам) получается критерий взаимной простоты двух многочленов. Теорема 2.23. Многочлены f (x ) и g (x ) являются взаимно простыми тогда и только тогда, когда найдутся такие многочлены u(x) , v(x) , для которых выполняется следующее равенство (соотношение Безу для многочленов): f (x ) u (x ) + g (x ) v (x ) = 1 . С помощью этого критерия получается ряд следствий, имеющих независимое значение. Приведем их в виде отдельных утверждений. Утверждение 2.1. Если многочлен f (x ) взаимно прост с каждым из многочленов ϕ (x) и ψ (x) , то он взаимно прост и с их произведением. Утверждение 2.2. Если произведение многочленов f (x ) и g (x ) делится на многочлен ϕ (x) , но НОД (f (x ) , ϕ (x )) = 1 , то g (x ) делится на ϕ (x) . Утверждение 2.3. Если многочлен f (x ) делится на каждый из попарно взаимно простых многочленов ϕ 1 (x ) , ϕ 2 (x ) , K , ϕ m (x ) , то f (x ) делится и на их произведение ϕ 1 (x ) ϕ 2 (x ) K ϕ m (x ) . Определение 2.28. Многочлен f (x ) P [ x ] степени n ≥ 1 называется неприводимым в кольце P[ x] , если в любом его представлении в виде произведения f (x ) = g (x ) q (x ) сомножителей g (x ) , q (x ) P [ x ] один из этих сомножителей яв- ляется константой, то есть элементом поля P. Структура неприводимых многочленов существенно зависит от поля P . Если P = C – поле комплексных чисел, то неприводимыми многочленами в C [ x ] являются только многочлены первой степени согласно основной теореме алгебры. Отсюда следует, что в кольце R [ x ] неприводимыми являются лишь многочлены первой степени, а также второй степени с отрицательным дискриминантом. Что касается кольца Q [ x ] , то здесь для каждого натурального n ≥ 1 существуют (причем бесконечно много) неприводимые многочлены степени n . К примеру, таковыми являются многочлены x n ± p , где p – простое число со- гласно следующему критерию. Теорема 2.24 (критерий Эйзенштейна). Пусть f ( x) = an xn + an − 1 xn − 1 +K+ a1 x + a0 – многочлен степени n > 1 с целыми коэффициентами и p – такое простое число, что a i ≡ 0 (mod p ) для всех i < n , но a n не делится на p, и a 0 не делится на p 2 . Тогда f (x ) – неприводимый в кольце Q [ x ] многочлен.

Аннотация: В данной лекции рассматриваются понятия колец. Приведены основные определения и свойства элементов кольца, рассмотрены ассоциативные кольца. Рассмотрен ряд характерных задач, доказаны основные теоремы, а также приведены задачи для самостоятельного рассмотрения

Кольца

Множество R с двумя бинарными операциями (сложением + и умножением ) называется ассоциативным кольцом с единицей , если:

Если операция умножения коммутативна, то кольцо называется коммутативным кольцом. Коммутативные кольца являются одним из главных объектов изучения в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии.

Замечания 1.10.1 .

Примеры 1.10.2 (примеры ассоциативных колец) .

Мы уже убедились, что группа вычетов (Z n ,+)={C 0 ,C 1 ,…,C n-1 }, C k =k+nZ , по модулю n с операцией сложения , является коммутативной группой (см. пример 1.9.4, 2)).

Определим операцию умножения, полагая . Проверим корректность этой операции . Если C k =C k” , C l =C l” , то k”=k+nu , l”=l+nv , , и поэтому C k”l” =C kl .

Так как (C k C l)C m =C (kl)m =C k(lm) =C k (C l C m), C k C l =C kl =C lk =C l C k , C 1 C k =C k =C k C 1 , (C k +C l)C m =C (k+l)m =C km+lm =C k C m +C l C m , то является ассоциативным коммутативным кольцом с единицей C 1 кольцом вычетов по модулю n ).

Свойства колец (R,+,.)

Лемма 1.10.3 (бином Ньютона) . Пусть R – кольцо с 1 , , . Тогда:

Доказательство.

Определение 1.10.4 . Подмножество S кольца R называется подкольцом , если:

а) S – подгруппа относительно сложения в группе (R,+) ;

б)для имеем ;

в)для кольца R с 1 предполагается, что .

Примеры 1.10.5 (примеры подколец) .

Задача 1.10.6 . Описать все подкольца в кольце вычетов Z n по модулю n .

Замечание 1.10.7 . В кольце Z 10 элементы, кратные 5 , образуют кольцо с 1 , не являющееся подкольцом в Z 10 (у этих колец различные единичные элементы).

Определение 1.10.8 . Если R – кольцо, и , , ab=0 , то элемент a называется левым делителем нуля в R , элемент b называется правым делителем нуля в R .

Замечание 1.10.9 . В коммутативных кольцах, естественно, нет различий между левыми и правыми делителями нуля.

Пример 1.10.10 . В Z , Q , R нет делителей нуля.

Пример 1.10.11 . Кольцо непрерывных функций C имеет делители нуля. Действительно, если

то , , fg=0 .

Пример 1.10.12 . Если n=kl , 1

Лемма 1.10.13 . Если в кольце R нет (левых) делителей нуля, то из ab=ac , где , , следует, что b=c (т. е. возможность сокращать на ненулевой элемент слева, если нет левых делителей нуля; и справа, если нет правых делителей нуля).

Доказательство. Если ab=ac , то a(b-c)=0 . Так как a не является левым делителем нуля, то b-c=0 , т. е. b=c .

Определение 1.10.14 . Элемент называется нильпотентным , если x n =0 для некоторого . Наименьшее такое натуральное число n называется степенью нильпотентности элемента .

Ясно, что нильпотентный элемент является делителем нуля (если n>1 , то , ). Обратное утверждение неверно (в Z 6 нет нильпотентных элементов, однако 2 , 3 , 4 – ненулевые делители нуля).

Упражнение 1.10.15 . Кольцо Z n содержит нильпотентные элементы тогда и только тогда, когда n делится на m 2 , где , .

Определение 1.10.16 . Элемент x кольца R называется идемпотентом , если x 2 =x . Ясно, что 0 2 =0 , 1 2 =1 . Если x 2 =x и , , то x(x-1)=x 2 -x=0 , и поэтому нетривиальные идемпотенты являются делителями нуля.

Через U(R) обозначим множество обратимых элементов ассоциативного кольца R , т. е. тех , для которых существует обратный элемент s=r -1 (т. е. rr -1 =1=r -1 r ).