Что такое координатная плоскость и. Координатная плоскость — Гипермаркет знаний. Примеры координатной плоскости

Термин «координаты» в переводе с латинского языка значит слово «упорядоченный».

Допустим, нам нужно обозначить положение точки на плоскости. Для этого мы берем 2 перпендикулярные прямые, которые называются осями координат, где Х будет осью абсцисс, У- осью ординат, а началом координат будет точка О. Образованные с помощью осей координат прямые углы, будут называться координатными углами.

Так мы подошли к определению и теперь знаем, что координатной плоскостью является плоскость с заданной системой координат.

А теперь давайте посмотрим, нумерацию координатных углов:

Теперь давайте с вами отобразим прямоугольную систему координат и отметим в ней точку M.

Далее нам нужно прочертить через точку М прямую, которая будет параллельна оси У. Теперь, смотрим, что у нас вышло. Как видим, что прямая пересекает ось Х в той точке, в которой координата будет равна −2. Данная координата является абсциссой точки M.

Теперь нам нужно прочертить через точку М прямую, которая будет параллельна оси Х.

Мы с вами видим, что эта прямая пересекает ось Х в той точке, координата которой равняется трем. Вот эта координата будет ординатой точки М.

Запись координат токи М будет выглядеть так:

В такой записи всегда на первое место ставят абсциссу, а на второе – ординату. Если рассмотреть на примере координат точки М(-2;3), то -2 выступает в роли абсциссы точки М, а ординатой этой точки будет число 3.

Из этого следует, что на координатной плоскости каждой точке М соответствует такая пара чисел, как ее абсцисса и ордината. Верным будет и утверждение наоборот, то есть, каждой такой паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.

Задание:

Координатная плоскость в жизни

Как по вашему, может ли пригодиться в повседневной жизни знания о координатной плоскости? И доводилось ли вам слышать такую фразу, как «оставьте свои координаты» или «по каким координатам вас можно найти»? И задумывались ли вы над тем, что может обозначать эти выражения?

Оказывается все очень просто и банально и это значит местонахождение того или иного объекта, по которому легко найти человека или какое-то определенное место. Можно уверенно утверждать, что системы координат необходимы в практической жизни человека повсеместно.

Такой системой координат может быть как домашний адрес, так и номер телефона, место работы и т.д.

Ведь даже при покупке билетов на поезд, вы знаете не только его номер и место назначения, но и обязательно должен быть указан номер вагона и места.

Чтобы пойти в гости к однокласснику, недостаточно знать только дом, в котором он живет, а нужно еще и знать номер квартиры.

Задание

1. Какими сведениями вы должны владеть, чтобы занять место в театре? 2. Какие данные нужно иметь, чтобы определить точки на земной поверхности? 3. По каким координатам можно определить место в кинотеатре? 4. Что необходимо знать, чтобы определелить положения фигуры на шахматной доске? 5. Какими координатами вы пользуетесь при игре в морской бой?

Историческая справка

Идея использования координат появилась еще в глубокой древности. Первоначально их применять начали астрономы, для определения небесных светил и географы – для определения местонахождения и объектов на поверхности Земли.

Благодаря трудам древнегреческого астронома Клавдия Плотомея уже во втором веке ученые научились определять долготу и широту.

А известно ли вам, почему в математике существует такое понятие, как «Декартова система координат»? Оказывается метод координат, который имеет общематематическое значение, был открыт французскими математиками Пьером Ферма и Рене Декартом в XVII в., а в 1637 году Рене Декарт впервые описал его в книге по геометрии.

А вот термины «абсцисса», «ордината» и «координаты» были впервые введены Вильгельмом Лейбницем в семнадцатом веке.

Домашнее задание:

Для указания взаимного расположения каких-то исследуемых объектов используются:

1. координатный луч, когда их размещение или движение происходят вдоль прямой линии по одну сторону от заданного объекта, принятого за начало отсчёта;
2. координатная прямая, когда их размещение или движение происходят вдоль прямой линии по разные стороны от заданного объекта, принятого за начало отсчёта;
3. координатная плоскость, когда их размещение или движение происходят вдоль произвольной непрямой линии.

Элементы координатной плоскости

Координатная плоскость отличается от обычной плоскости тем, что на неё наносится система координат. Примером может служить изображение любого материка с нанесёнными на него параллелями и меридианами, которые и задают систему географических координат, позволяющих находить или задавать положение любого объекта на карте.

Система координат представляет собой две взаимно пересекающиеся под прямым углом координатные прямые в точках начала отсчёта. Горизонтальную координатную прямую принято называть осью абсцисс (абсцисса с лат. яз. – отрезок). Вертикальную прямую – осью ординат (ордината с лат. яз. – выстраивание по порядку).

Аналогично, координатная прямая отличается от обычной прямой тем, что на ней выбирают какую-то точку за начало отсчёта; выбирают масштаб единичного отрезка в зависимости от того, какие расстояния предстоит изображать; положительное направление отсчёта, обозначаемое на координатной прямой стрелкой.

Положение объекта на такой плоскости обозначают точкой с двумя числами – координатами: абсциссой и ординатой.

Использование координатных плоскостей

Координатные плоскости широко используются для решения геометрических и физических задач. Причём в физике за ось абсцисс часто принимают ось времени. Тогда ось ординат задаёт координату тела на координатной прямой, располагаемой вдоль прямолинейной траектории движения тела.

Прямоугольная система координат это пара перпендикулярных координатных линий, называемых осями координат, которые размещены так, что они пересекаются в их начале.

Обозначение координатных осей буквами х и у является общепринятым, однако буквы могут быть любые. Если используются буквы х и у, то плоскость называется xy-плоскость . В различных приложениях могут применяться отличные от букв x и y буквы, и как показано с нижерасположенных рисунках, есть uv-плоскости и ts-плоскости .

Упорядоченная пара

Под упорядоченной парой действительных чисел мы имеем в виду два действительных чисел в определённом порядке. Каждая точка P в координатной плоскости может быть связана с уникальной упорядоченной парой действительных чисел путём проведения двух прямых через точку P: одну перпендикулярно оси Х, а другую – перпендикулярно оси у.

Например, если мы возьмём (a,b)=(4,3), тогда на координатной полоскости

Построить точку Р(a,b) означает определить точку с координатами (a,b) на координатной плоскости. Например, различные точки построены на рисунке внизу.

В прямоугольной системе координат оси координат делят плоскость на четыре области, называемые квадрантами. Они нумеруются против часовой стрелки римскими цифрами, как показано на рисунке

Определение графика

Графиком уравнения с двумя переменными х и у, называется множество точек на ху-плоскости, координаты которых являются членами множества решений этого уравнения

Пример: нарисовать график y = x 2

Из-за того, что 1/x не определено, когда x=0, мы можем построить только точки, для которых x ≠0

Пример: Найдите все пересечения с осями (a) 3x + 2y = 6 (b) x = y 2 -2y

(c) y = 1/x

Пусть y = 0, тогда 3x = 6 or x = 2

является искомой точкой пересечения оси x.

Установив, что х=0, найдем что точкой пересечения оси у является точка у=3.

Таким эе образом вы можете решить уравнение (b), а решения для (c) приведено ниже

x-пересечение

Пусть y = 0

1/x = 0 => x не может быть определено, то есть нет пересечения с осью у

Пусть x = 0

y = 1/0 => y также не определено, => нет пересечения с осью y

На рисунке внизу точки (x,y), (-x,y),(x,-y) и (-x,-y) обозначают углы прямоугольника.

График симметричен относительно оси х, если для каждой точки (x,y) графика, точка (x,-y) есть также точкой на графике.

График симметричен относительно оси y, если для каждой точки графика (x,y) точка (-x,y) также принадлежит графику.

График симметричен относительно центра координат, если для каждой точки (x,y) графика, точка (-x,-y) также принадлежит этому графику.

Определение:

График функции на координатной плоскости определяется как график уравнения y = f(x)

Постройте график f(x) = x + 2

Пример 2. Постройте график f(x) = |x|

График совпадает с линией y = x для x> 0 и с линией y = -x

для x < 0 .

graph of f(x) = -x

Соединяя эти два графика, мы получаем

график f(x) = |x|

Пример 3. Постройте график

t(x) = (x 2 – 4)/(x – 2) =

= ((x – 2)(x + 2)/(x – 2)) =

= (x + 2) x ≠ 2

Следовательно, эта функция может быть записана в виде

y = x + 2 x ≠ 2

График h(x)= x 2 – 4 Or x – 2

график y = x + 2 x ≠ 2

Пример 4. Постройте график

Графики функций с перемещением

Предположим, что график функции f(x) известен

Тогда мы можем найти графики

y = f(x) + c – график функции f(x), перемещённый

ВВЕРХ на c значений

y = f(x) – c – график функции f(x), перемещённый

ВНИЗ на c значений

y = f(x + c) – график функции f(x), перемещённый

ВЛЕВО на c значений

y = f(x – c) – график функции f(x), перемещённый

Вправо на c значений

Пример 5. Постройте

график y = f(x) = |x – 3| + 2

Переместим график y = |x| на 3 значения ВПРАВО, чтобы получить график

Переместим график y = |x – 3| на 2 значения ВВЕРХ, чтобы получить график y = |x – 3| + 2

Постройте график

y = x 2 – 4x + 5

Преобразуем заданное уравнение следующим образом, прибавив к обеим частям 4:

y + 4 = (x 2 – 4x + 5) + 4 y = (x 2 – 4x + 4) + 5 – 4

y = (x – 2) 2 + 1

Здесь мы видим, что этот график может быть получен перемещением графика y = x 2 вправо на 2 значения, потому что x – 2, и вверх на 1 значение, потому что +1.

y = x 2 – 4x + 5

Отражения

(-x, y) есть отражением (x, y) относительно оси y

(x, -y) есть отражением (x, y) относительно оси x

Графики y = f(x) и y = f(-x) являются отражением друг друга относительно оси y

Графики y = f(x) и y = -f(x) являются отражением друг друга относительно оси x

График может быть получен отражением и перемещением:

Нарисуйте график

Найдём его отражение относительно оси y, и получим график

Переместим этот график вправо на 2 значения и получим график

Вот искомый график

Если f(x) умножена на положительною постояную c, то

график f(x) сжимается по вертикали, если 0 < c < 1

график f(x) растягивается по вертикали, если c > 1

Кривая не является графиком y = f(x) для любой функции f

Математика – наука довольно сложная. Изучая ее, приходится не только решать примеры и задачи, но и работать с различными фигурами, и даже плоскостями. Одной из наиболее используемых в математике является система координат на плоскости. Правильной работе с ней детей учат не один год. Поэтому важно знать, что это такое и как правильно с ней работать.

Давайте же разберемся, что представляет собой данная система, какие действия можно выполнять с ее помощью, а также узнаем ее основные характеристики и особенности.

Определение понятия

Координатная плоскость – это плоскость, на которой задана определенная система координат. Такая плоскость задается двумя прямыми, пересекающимися под прямым углом. В точке пересечения этих прямых находится начало координат. Каждая точка на координатной плоскости задается парой чисел, которые называют координатами.

В школьном курсе математики школьникам приходится довольно тесно работать с системой координат – строить на ней фигуры и точки, определять, какой плоскости принадлежит та или иная координата, а также определять координаты точки и записывать или называть их. Поэтому поговорим подробнее обо всех особенностях координат. Но прежде коснемся истории создания, а затем уже поговорим о том, как работать на координатной плоскости.

Историческая справка

Идеи о создании системы координат были еще во времена Птоломея. Уже тогда астрономы и математики думали о том, как научиться задавать положение точки на плоскости. К сожалению, в то время еще не было известной нам системы координат, и ученым приходилось пользоваться другими системами.

Изначально они задавали точки с помощью указания широты и долготы. Долгое время это был один из наиболее используемых способов нанесения на карту той или иной информации. Но в 1637 году Рене Декарт создал собственную систему координат, названную впоследствии в честь “декартовой”.

Уже в конце XVII в. понятие «координатная плоскость» стало широко использоваться в мире математики. Несмотря на то что с момента создания данной системы прошло уже несколько веков, она до сих пор широко используется в математике и даже в жизни.

Примеры координатной плоскости

Прежде чем говорить о теории, приведем несколько наглядных примеров координатной плоскости, чтобы вы смогли представить ее себе. В первую очередь координатная система используется в шахматах. На доске каждый квадрат имеет свои координаты – одну координату буквенную, вторую – цифровую. С ее помощью можно определить положение той или иной фигуры на доске.

Вторым наиболее ярким примером может служить любимая многими игра «Морской бой». Вспомните, как, играя, вы называете координату, например, В3, таким образом указывая, куда именно целитесь. При этом, расставляя корабли, вы задаете точки на координатной плоскости.

Данная система координат широко применяется не только в математике, логических играх, но и в военном деле, астрономии, физике и многих других науках.

Оси координат

Как уже говорилось, в системе координат выделяют две оси. Поговорим немного о них, так как они имеют немалое значение.

Первая ось – абсцисс – горизонтальная. Она обозначается как (Ox ). Вторая ось – ординат, которая проходит вертикально через точку отсчета и обозначается как (Oy ). Именно эти две оси образуют систему координат, разбивая плоскость на четыре четверти. Начало отсчета находится в точке пересечения этих двух осей и принимает значение 0 . Только в случае если плоскость образована двумя пересекающимися перпендикулярно осями, имеющими точку отсчета, это координатная плоскость.

Также отметим, что каждая из осей имеет свое направление. Обычно при построении системы координат принято указывать направление оси в виде стрелочки. Кроме того, при построении координатной плоскости каждая из осей подписывается.

Четверти

Теперь скажем пару слов о таком понятии, как четверти координатной плоскости. Плоскость разбивается двумя осями на четыре четверти. Каждая из них имеет свой номер, при этом нумерация плоскостей ведется против часовой стрелки.

Каждая из четвертей имеет свои особенности. Так, в первой четверти абсцисса и ордината положительная, во второй четверти абсцисса отрицательная, ордината – положительная, в третьей и абсцисса, и ордината отрицательные, в четвертой же положительной является абсцисса, а отрицательной – ордината.

Запомнив эти особенности, можно с легкостью определить, к какой четверти относится та или иная точка. Кроме того, эта информация может пригодиться вам и в том случае, если придется делать вычисления, используя декартову систему.

Работа с координатной плоскостью

Когда мы разобрались с понятием плоскости и поговорили о ее четвертях, можно перейти к такой проблеме, как работа с данной системой, а также поговорить о том, как наносить на нее точки, координаты фигур. На координатной плоскости сделать это не так тяжело, как может показаться на первый взгляд.

В первую очередь строится сама система, на нее наносятся все важные обозначения. Затем уже идет работа непосредственно с точками или фигурами. При этом даже при построении фигур сначала на плоскость наносятся точки, а затем уже прорисовываются фигуры.

Правила построения плоскости

Если вы решили начать отмечать на бумаге фигуры и точки, вам понадобится координатная плоскость. Координаты точек наносятся именно на нее. Для того чтобы построить координатную плоскость, понадобится только линейка и ручка или карандаш. Сначала рисуется горизонтальная ось абсцисс, затем вертикальная – ординат. При этом важно помнить, что оси пересекаются под прямым углом.

Следующим обязательным пунктом является нанесение разметки. На каждой из осей в обоих направлениях отмечаются и подписываются единицы-отрезки. Это делается для того, чтобы затем можно было работать с плоскостью с максимальным удобством.

Отмечаем точку

Теперь поговорим о том, как нанести координаты точек на координатной плоскости. Это основа, которую следует знать, чтобы успешно размещать на плоскости разнообразные фигуры, и даже отмечать уравнения.

При построении точек следует помнить, как правильно записываются их координаты. Так, обычно задавая точку, в скобках пишут две цифры. Первая цифра обозначает координату точки по оси абсцисс, вторая – по оси ординат.

Строить точку следует таким образом. Сначала отметить на оси Ox заданную точку, затем отметить точку на оси Oy . Далее провести воображаемые линии от данных обозначений и найти место их пересечения – это и будет заданная точка.

Вам останется только отметить ее и подписать. Как видите, все довольно просто и не требует особых навыков.

Размещаем фигуру

Теперь перейдем к такому вопросу, как построение фигур на координатной плоскости. Для того чтобы построить на координатной плоскости любую фигуру, следует знать, как размещать на ней точки. Если вы умеете это делать, то разместить фигуру на плоскости не так уж и сложно.

В первую очередь вам понадобятся координаты точек фигуры. Именно по ним мы и будем наносить на нашу систему координат выбранные вами Рассмотрим нанесение прямоугольника, треугольника и окружности.

Начнем с прямоугольника. Наносить его довольно просто. Сначала на плоскость наносятся четыре точки, обозначающие углы прямоугольника. Затем все точки последовательно соединяются между собой.

Нанесение треугольника ничем не отличается. Единственное – углов у него три, а значит, на плоскость наносятся три точки, обозначающие его вершины.

Касательно окружности тут следует знать координаты двух точек. Первая точка – центр окружности, вторая – точка, обозначающая ее радиус. Эти две точки наносятся на плоскость. Затем берется циркуль, измеряется расстояние между двумя точками. Острие циркуля ставится в точку, обозначающую центр, и описывается круг.

Как видите, тут также нет ничего сложного, главное, чтобы под рукой всегда были линейка и циркуль.

Теперь вы знаете, как наносить координаты фигур. На координатной плоскости это делать не так уж и сложно, как может показаться на первый взгляд.

Выводы

Итак, мы рассмотрели с вами одно из наиболее интересных и базовых для математики понятий, с которым приходится сталкиваться каждому школьнику.

Мы с вами выяснили, что координатная плоскость – это плоскость, образованная пересечением двух осей. С ее помощью можно задавать координаты точек, наносить на нее фигуры. Плоскость разделена на четверти, каждая из которых имеет свои особенности.

Основной навык, который следует выработать при работе с координатной плоскостью, – умение правильно наносить на нее заданные точки. Для этого следует знать правильное расположение осей, особенности четвертей, а также правила, по которым задаются координаты точек.

Надеемся, что изложенная нами информация была доступна и понятна, а также была полезна для вас и помогла лучше разобраться в данной теме.

Тема данного видео урока: Координатная плоскость .

Цели и задачи урока:

Ознакомиться с прямоугольной системой координат на плоскости – научить свободно ориентироваться на координатной плоскости – строить точки по заданным её координатам – определять координаты точки, отмеченной на координатной плоскости – хорошо воспринимать на слух координаты – четко и аккуратно выполнять геометрические построения

– развитие творческих способностей

– воспитание интереса к предмету

Термин «координаты » произошел от латинского слова – «упорядоченный»

Чтобы указать положение точки на плоскости берут две перпендикулярные прямые Х и У.

Ось Х – ось абсцисс
Ось У- ось ординат
Точка О- начало координат

Плоскость, на которой задана система координат, называется координатной плоскостью .

Каждой точке М на координатной плоскости соответствует пара чисел: её абсцисса и ордината. Наоборот, каждой паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.

Рассмотрены примеры:

• по построению точки по её координатам
• нахождение координат точки расположенной на координатной плоскости

Немного дополнительной информации:

Идея задавать положение точки на плоскости зародилась в древности – прежде всего у астрономов. Во II в. Древнегреческий астроном Клавдий Птоломей пользовался широтой и долготой в качестве координат. Описание применения координат дал в книге «Геометрия» в 1637 г.

Описание применения координат дал в книге «Геометрия» в 1637 г. французский математик Рене Декарт, поэтому прямоугольную систему координат часто называют декартовой.

Слова «абсцисса », «ордината », «координаты » первым начал использовать в конце XVII.

Для лучшего понимания координатной плоскости, представим что нам даны: географический глобус, шахматная доска, театральный билет.

Для определения положения точки на земной поверхности надо знать долготу и широту. Для определения положения фигуры на шахматной доске нужно знать две координаты, например: е3.

Места в зрительном зале определяются по двум координатам: ряд и место.

Дополнительное задание.

После изучения видео урока, для закрепления материала, предлагаю Вам взять ручку и листик в клеточку, начертить координатную плоскость и построить фигуры по заданным координатам:

Грибок 1) (6; 0), (6; 2), (5; 1,5), (4; 3), (2; 1), (0; 2,5), (- 1,5; 1,5), (- 2; 5), (- 3; 0,5), (- 4; 2), (- 4; 0). 2) (2; 1), (2,2; 2), (2,3; 4), (2,5; 6), (2,3; 8), (2; 10), (6; 10), (4,8; 12), (3; 13,3), (1; 14), (0; 14), (- 2; 13,3), (- 3,8; 12), (- 5; 10), (2; 10). 3) (- 1; 10), (- 1,3; 8), (- 1,5; 6), (- 1,2; 4), (- 0,8;2).

Мышонок 1) (3; – 4), (3; – 1), (2; 3), (2; 5), (3; 6), (3; 8), (2; 9), (1; 9), (- 1; 7), (- 1; 6),

(- 4; 4), (- 2; 3), (- 1; 3), (- 1; 1), (- 2; 1), (-2; – 1), (- 1; 0), (- 1; – 4), (- 2; – 4), (- 2; – 6), (- 3; – 6), (- 3; – 7), (- 1; – 7), (- 1; – 5), (1; – 5), (1; – 6), (3; – 6), (3; – 7), (4; – 7), (4; – 5), (2; – 5), (3; – 4). 2) Хвост: (3; – 3), (5; – 3), (5; 3). 3) Глаз: (- 1; 5).

Лебедь

1) (2; 7), (0; 5), (- 2; 7), (0; 8), (2; 7), (- 4; – 3), (4; 0), (11; – 2), (9; – 2), (11; – 3), (9; – 3), (5; – 7), (- 4; – 3). 2) Клюв: (- 4; 8), (- 2; 7), (- 4; 6). 3) Крыло: (1; – 3), (4; – 2), (7; – 3), (4; – 5), (1; – 3). 4) Глаз: (0; 7).

Верблюд

1) (- 9; 6), (- 5; 9), (- 5; 10), (- 4; 10), (- 4; 4), (- 3; 4), (0; 7), (2; 4), (4; 7), (7; 4), (9; 3), (9; 1), (8; – 1), (8; 1), (7; 1), (7; – 7), (6; – 7), (6; – 2), (4; – 1), (- 5; – 1), (- 5; – 7), (- 6; – 7), (- 6; 5), (- 7;5), (- 8; 4), (- 9; 4), (- 9; 6). 2) Глаз: (- 6; 7).

Слоник

1) (2; – 3), (2; – 2), (4; – 2), (4; – 1), (3; 1), (2; 1), (1; 2), (0; 0), (- 3; 2), (- 4; 5), (0; 8), (2; 7), (6; 7), (8; 8), (10; 6), (10; 2), (7; 0), (6; 2), (6; – 2), (5; – 3), (2; – 3). 2) (4; – 3), (4; – 5), (3; – 9), (0; – 8), (1; – 5), (1; – 4), (0; – 4), (0; – 9), (- 3; – 9), (- 3; – 3), (- 7; – 3), (- 7; – 7), (- 8; – 7), (- 8; – 8), (- 11; – 8), (- 10; – 4), (- 11; – 1), (- 14; – 3), (- 12; – 1), (- 11;2), (- 8;4), (- 4;5). 3) Глаза: (2; 4), (6; 4).

Конь

1) (14; – 3), (6,5; 0), (4; 7), (2; 9), (3; 11), (3; 13), (0; 10), (- 2; 10), (- 8; 5,5), (- 8; 3), (- 7; 2), (- 5; 3), (- 5; 4,5), (0; 4), (- 2; 0), (- 2; – 3), (- 5; – 1), (- 7; – 2), (- 5; – 10), (- 2; – 11), (- 2; – 8,5), (- 4; – 8), (- 4; – 4), (0; – 7,5), (3; – 5).

2) Глаз: (- 2; 7).