Сегодня вашему вниманию предлагается еще одна презентация по удивительному и загадочному предмету – геометрии. В этой презентации мы вас познакомим со новым свойством геометрических фигур, в частности, с понятием пропорциональных отрезков в прямоугольных треугольниках.
Для начала следует вспомнить, что же такое треугольник? Это простейший многоугольник, состоящий из трех вершин, соединенных тремя отрезками. Прямоугольным называют треугольник, у которого один из углов равняется 90 градусам. Более подробно с ними вы уже знакомились в наших предыдущих учебных материалах, представленных вашему вниманию.
Итак, возвращаясь к нашей сегодняшней теме, по порядку обозначим, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из угла 90 градусов, делит его на два треугольника, которые подобны как между собой, так и с исходным. Все интересующие вас рисунки и графики приведены в предложенной презентации, к ним и рекомендуем обращаться, сопровождая описываемым объяснением.
Графический пример вышеописанного тезиса можно увидеть на втором слайде. Исходя из первого признака подобия треугольников, треугольники подобны, так как имеют два одинаковых угла. Если указать более подробно, то высота, опущенная на гипотенузу, образует с ней прямой угол, то есть уже есть одинаковые углы, также каждый из образованных углов имеет и исходным по одному общему углу. Итог – два угла, равных друг другу. То есть треугольники подобны.
Также обозначим, что же под собой подразумевает понятие «среднее пропорциональное» или «среднее геометрическое»? Это некий отрезок XY для отрезков AB и CD, когда он равняется квадратному корню произведения их длин.
Из чего также вытекает, что катет прямоугольного треугольника является средним геометрическим между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу, то есть другого катета.
Еще одним из свойств прямого треугольника является то, что его высота, проведенная из угла 90 о, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу. Если вы обратитесь к, предложенной вашему вниманию, презентации и другим материалам, то увидите, что там приведено доказательство указанного тезиса в очень простой и доступной форме. Ранее мы уже доказали, что полученные треугольники подобны между собой и с исходным треугольником. Затем, используя соотношение катетов данных геометрических фигур, приходим к тому, что высота прямоугольного треугольника прямо пропорциональна квадратному корню произведения отрезков, которые образовались в результате опущения высоты с прямого угла исходного треугольника.
Последним в презентации указано то, что катет прямоугольного треугольника является средним геометрическим для гипотенузы и ее отрезка, находящегося между катетом и высотой, проведенной из угла, равного 90 градусам. Этот случай следует рассматривать с той стороны, что указанные треугольники подобны между собой, и катет одного из них получается гипотенузой другого. Но более подробно вы с этим познакомитесь, изучив предложенные материалы.
Цели урока:
- ввести понятие среднего пропорционального (среднего геометрического) двух отрезков;
- рассмотреть задачу о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике: свойство высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла;
- формировать у учащихся навыки использования изученной темы в процессе решения задач.
Тип урока: урок изучения нового материала.
План:
- Оргмомент.
- Актуализация знаний.
- Изучение свойства высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла: – подготовительный этап; – введение;
– усвоение.
- Введение понятия среднего пропорционального двух отрезков.
- Усвоение понятия среднего пропорционального двух отрезков.
- Доказательство следствий: – высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой;
– катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.
- Решение задач.
- Подведение итогов.
- Постановка домашнего задания.
- Ход урока
- I. ОРГМОМЕНТ
- II. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ
- III. ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВА ВЫСОТЫ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ПРОВЕДЕННОЙ ИЗ ВЕРШИНЫ ПРЯМОГО УГЛА
- IV. ВВЕДЕНИЕ ПОНЯТИЯ СРЕДНЕГО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО ДВУХ ОТРЕЗКОВ
- V. УСВОЕНИЕ ПОНЯТИЯ СРЕДНЕГО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО ДВУХ ОТРЕЗКОВ
- VI. ВЫВОД СЛЕДСТВИЙ
- IX. ПОСТАНОВКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ
- Теорема о высоте в прямоугольном треугольнике
- Среднее пропорциональное
- Геометрия 8 класс
- Теорема о высоте в прямоугольном треугольнике
- Среднее пропорциональное
Ход урока
I. ОРГМОМЕНТ
– Здравствуйте ребята, присаживайтесь. Все готовы к уроку?
Начинаем работу.
II. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ
– С каким важным математическим понятием вы познакомились на предыдущих уроках? (с понятием подобия треугольников)
– Давайте вспомним, какие два треугольника называются подобными? (два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника )
– Чем мы пользуемся при доказательстве подобия двух треугольников? (
– Сформулируйте эти признаки (формулируют три признака подобия треугольников)
III. ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВА ВЫСОТЫ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ПРОВЕДЕННОЙ ИЗ ВЕРШИНЫ ПРЯМОГО УГЛА
а) подготовительный этап
– Ребята, посмотрите пожалуйста на первый слайд. (Приложение ) Здесь изображены два прямоугольных треугольника – и . и – высоты и соответственно. 
.
Задание 1. а) Определите, подобны ли и .
– Что мы используем при доказательстве подобия треугольников? (признаки подобия треугольников)
(первый признак, т.к. в задаче ничего неизвестно о сторонах треугольников)
. (Две пары: 1. ∟В= ∟В1 (прямые),2. ∟A= ∟A 1)
– Сделайте вывод.(по первому признаку подобия треугольников ~)
Задание 1. б) Определите, подобны ли и .
– Какой признак подобия будем использовать и почему? (первый признак, т.к. в задаче ничего неизвестно о сторонах треугольников )
– Сколько пар равных углов нам нужно найти? Найдите эти пары (т.к. треугольники прямоугольные, то достаточно одной пары равных углов: ∟A= ∟A 1 )
– Сделайте вывод. (по первому признаку подобия треугольников заключаем, что данные треугольники подобны).
В результате беседы слайд 1 выглядит так:
б) открытие теоремы
Задание 2.
– Определите, подобны ли и , и . В результате беседы выстраиваются ответы, которые отражены на слайде.
– На рисунке было указано, что . Использовали ли мы эту градусную меру при ответах на вопросы заданий? (Нет, не использовали )
– Ребята, сделайте вывод: на какие треугольники разделяет прямоугольный треугольник высота, проведенная из вершины прямого угла? (делают вывод)
– Возникает вопрос: а будут ли эти два прямоугольных треугольника, на которые высота разбивает прямоугольный треугольник, подобны между собой? Давайте попробуем найти пары равных углов.
В результате беседы выстраивается запись :
– А теперь давайте сделаем полный вывод.(ВЫВОД: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных
– Т.о. мы с вами сформулировали и доказали теорему о свойстве высоты прямоугольного треугольника.
Установим структуру теоремы и сделаем чертеж. Что в теореме дано и что нужно доказать? Учащиеся записывают в тетрадь:
– Докажем первый пункт теоремы для нового рисунка. Какой признак подобия будем использовать и почему? (Первый, т.к. в теореме ничего неизвестно о сторонах треугольников)
– Сколько пар равных углов нам нужно найти? Найдите эти пары. (В данном случае достаточно одной пары: ∟A-общий)
– Сделайте вывод. Треугольники подобны. В результате показывается образец оформления теоремы
– Второй и третий пункты распишите дома самостоятельно.
в) усвоение теоремы
– Итак, сформулируйте еще раз теорему (Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному)
– Сколько пар подобных треугольников в конструкции «в прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла» позволяет найти эта теорема? (Три пары )
Ученикам предлагается следующее задание:
IV. ВВЕДЕНИЕ ПОНЯТИЯ СРЕДНЕГО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО ДВУХ ОТРЕЗКОВ
– А теперь мы изучим с вами новое понятие.
Внимание!
Определение. Отрезок XY называется средним пропорциональным (средним геометрическим) между отрезками AB и CD , если
(записывают в тетрадь).
V. УСВОЕНИЕ ПОНЯТИЯ СРЕДНЕГО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО ДВУХ ОТРЕЗКОВ
– Теперь обратимся к следующему слайду.
Задание 1. Найдите длину среднего пропорционального отрезков MN и KP, если MN = 9 см, KP = 16 см.
– Что дано в задаче? (Два отрезка и их длины: MN = 9 см, KP = 16 см )
– Что нужно найти? (Длину среднего пропорционального этих отрезков )
– Какой формулой выражается среднее пропорциональное и как мы его найдем?
(Подставляем данные в формулу и находим длину ср.проп.)
Задание №2. Найдите длину отрезка AB, если среднее пропорциональное отрезков AB и СD равно 90 см и CD = 100 см
– Что дано в задаче? (длина отрезка CD = 100 см и среднее пропорциональное отрезков AB и СD равно 90 см)
– Что нужно найти в задаче? (Длину отрезка AB)
– Как будем решать задачу? (Запишем формулу среднего пропорционального отрезков AB и СD, выразим из нее длину AB и подставим данные задачи.)
VI. ВЫВОД СЛЕДСТВИЙ
– Молодцы, ребята. А теперь давайте вернемся к подобию треугольников, доказанному нами в теореме. Сформулируйте еще раз теорему. (Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному )
– Давайте вначале будем использовать подобие треугольников и . Что из этого следует? (По определению подобия стороны пропорциональны сходственным сторонам )
– Какое равенство получится при использовании основного свойства пропорции? ()
– Выразите СD и сделайте вывод (
;
.
Вывод : высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой )
– А теперь докажите самостоятельно, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.найдем из -… отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой)
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между…(-…гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между этим катетом и высотой)
– Где мы применяем изученные утверждения? (При решении задач )
IX. ПОСТАНОВКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ
д/з: №571, №572 (а,д), самостоятельная работа в тетради, теория.
Признак подобия прямоугольных треугольников
Введем для начала признак подобия прямоугольных треугольников.
Теорема 1
Признак подобия прямоугольных треугольников : два прямоугольных треугольника подобны тогда, когда у них есть по одному равному острому углу (рис. 1).
Рисунок 1. Подобные прямоугольные треугольники
Доказательство.
Пусть нам дано, что $\angle B=\angle B_1$. Так как треугольники прямоугольные, то $\angle A=\angle A_1={90}^0$. Следовательно, они подобны по первому признаку подобия треугольников.
Теорема доказана.
Теорема о высоте в прямоугольном треугольнике
Теорема 2
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
Доказательство.
Пусть нам дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Проведем высоту $CD$ (рис. 2).
Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 2
Докажем, что треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны треугольнику $ABC$ и что треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны между собой.
Так как $\angle ADC={90}^0$, то треугольник $ACD$ прямоугольный. У треугольников $ACD$ и $ABC$ угол $A$ общий, следовательно, по теореме 1, треугольники $ACD$ и $ABC$ подобны.
Так как $\angle BDC={90}^0$, то треугольник $BCD$ прямоугольный. У треугольников $BCD$ и $ABC$ угол $B$ общий, следовательно, по теореме 1, треугольники $BCD$ и $ABC$ подобны.
Рассмотрим теперь треугольники $ACD$ и $BCD$
\[\angle A={90}^0-\angle ACD\] \[\angle BCD={90}^0-\angle ACD=\angle A\]
Следовательно, по теореме 1, треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны.
Теорема доказана.
Среднее пропорциональное
Теорема 3
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые высота делит гипотенузу данного треугольника.
Доказательство.
По теореме 2, имеем, что треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны, следовательно
Теорема доказана.
Теорема 4
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины угла.
Доказательство.
В доказательстве теоремы будем пользоваться обозначениями из рисунка 2.
По теореме 2, имеем, что треугольники $ACD$ и $ABC$ подобны, следовательно
Теорема доказана.
Урок 40. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. С. b. a. h. С. bc. Н. ac. А. В. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на 2 подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. Признак подобия прямоугольных треугольников. Два прямоугольных треугольника подобны, если у них есть по равному острому углу. Отрезок XY называется средним пропорциональным (средним геометрическим) для отрезков АВ и CD, если Свойство 1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Свойство 2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Слайд 28 из презентации «Геометрия «Подобные треугольники»» . Размер архива с презентацией 232 КБ.
Геометрия 8 класс
краткое содержание других презентаций
«Решение задач на теорему Пифагора» – Треугольник АВС равнобедренный. Практическое применение теоремы Пифагора. АВСД – четырехугольник. Площадь квадрата. Найти ВС. Доказательство. Основания равнобедренной трапеции. Рассмотреть теорему Пифагора. Площадь четырехугольника. Прямоугольные треугольники. Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
«Нахождение площади параллелограмма» – Основание. Высота. Определение высоты параллелограмма. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Площадь параллелограмма. Найдите площадь треугольника. Свойства площадей. Устные упражнения. Найдите площадь параллелограмма. Высоты параллелограмма. Найдите периметр квадрата. Площадь треугольника. Найдите площадь квадрата. Найдите площадь прямоугольника. Площадь квадрата.
««Квадрат» 8 класс» – Чёрный квадрат. Задания для устной работы по периметру квадрата. Площадь квадрата. Признаки квадрата. Квадрат среди нас. Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Квадрат. Сумка с квадратным основанием. Устные задачи. Сколько квадратов изображено на рисунке. Свойства квадрата. Богатый торговец. Задания для устной работы по площади квадрата. Периметр квадрата.
«Определение осевой симметрии» – Точки, лежащие на одном перпендикуляре. Начертите две прямые. Построение. Постройте точки. Подсказка. Фигуры, не обладающие осевой симметрией. Отрезок. Пропущенные координаты. Фигура. Фигуры, имеющие более двух осей симметрии. Симметрия. Симметрия в поэзии. Постройте треугольники. Оси симметрии. Построение отрезка. Построение точки. Фигуры, обладающие двумя осями симметрии. Народы. Треугольники. Соразмерность.
«Определение подобных треугольников» – Многоугольники. Пропорциональные отрезки. Отношение площадей подобных треугольников. Два треугольника называются подобными. Условия. Построить треугольник по данным двум углам и биссектрисе при вершине. Допустим, надо определить расстояние до столба. Третий признак подобия треугольников. Построим какой – нибудь треугольник. АВС. Треугольники АВС и АВС равны по трем сторонам. Определение высоты предмета.
«Решение теоремы Пифагора» – Части окон. Простейшее доказательство. Хаммураби. Диагональ. Полноценное доказательство. Доказательство методом вычитания. Пифагорейцы. Доказательство методом разложения. История теоремы. Диаметр. Доказательство методом дополнения. Доказательство Эпштейна. Кантор. Треугольники. Последователи. Приложения теоремы Пифагора. Теорема Пифагора. Формулировка теоремы. Доказательство Перигаля. Применение теоремы.
Признак подобия прямоугольных треугольников
Введем для начала признак подобия прямоугольных треугольников.
Теорема 1
Признак подобия прямоугольных треугольников : два прямоугольных треугольника подобны тогда, когда у них есть по одному равному острому углу (рис. 1).
Рисунок 1. Подобные прямоугольные треугольники
Доказательство.
Пусть нам дано, что $\angle B=\angle B_1$. Так как треугольники прямоугольные, то $\angle A=\angle A_1={90}^0$. Следовательно, они подобны по первому признаку подобия треугольников.
Теорема доказана.
Теорема о высоте в прямоугольном треугольнике
Теорема 2
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
Доказательство.
Пусть нам дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Проведем высоту $CD$ (рис. 2).
Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 2
Докажем, что треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны треугольнику $ABC$ и что треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны между собой.
Так как $\angle ADC={90}^0$, то треугольник $ACD$ прямоугольный. У треугольников $ACD$ и $ABC$ угол $A$ общий, следовательно, по теореме 1, треугольники $ACD$ и $ABC$ подобны.
Так как $\angle BDC={90}^0$, то треугольник $BCD$ прямоугольный. У треугольников $BCD$ и $ABC$ угол $B$ общий, следовательно, по теореме 1, треугольники $BCD$ и $ABC$ подобны.
Рассмотрим теперь треугольники $ACD$ и $BCD$
\[\angle A={90}^0-\angle ACD\] \[\angle BCD={90}^0-\angle ACD=\angle A\]
Следовательно, по теореме 1, треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны.
Теорема доказана.
Среднее пропорциональное
Теорема 3
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые высота делит гипотенузу данного треугольника.
Доказательство.
По теореме 2, имеем, что треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны, следовательно
Теорема доказана.
Теорема 4
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины угла.
Доказательство.
В доказательстве теоремы будем пользоваться обозначениями из рисунка 2.
По теореме 2, имеем, что треугольники $ACD$ и $ABC$ подобны, следовательно
Теорема доказана.